Непрерывность рядов

[NSUmath]

$$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{nx}{1+n^3x^3}$$

$$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{x}{2^{nx^2}}$$

$$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{x}{n^{x^2 + 1}}$$

Все эти ряды сходятся в окрестности нуля. Доказать, что в нуле они разрывны.
Верно ли я понимаю, что мне нужно исследовать на равномерную сходимость?

[mihaild]

NSUmath в сообщении #1299919 писал(а):

Верно ли я понимаю, что мне нужно исследовать на равномерную сходимость?

Вы ожидаете получить, что ряды сходятся равномерно или нет? Следует ли из ожидаемого результата разрывность или непрерывность?

[NSUmath]

mihaild в сообщении #1299929 писал(а):

NSUmath в сообщении #1299919 писал(а):

Верно ли я понимаю, что мне нужно исследовать на равномерную сходимость?

Вы ожидаете получить, что ряды сходятся равномерно или нет? Следует ли из ожидаемого результата разрывность или непрерывность?

Если ряд сходится равномерно, то по теореме о перестановке пределов предел можно внести и получим непрерывно. Значит должны сходится не равномерно, так?

[mihaild]

А можно ли что-то сказать о непрерывности суммы неравномерно сходящегося ряда?

[NSUmath]

mihaild в сообщении #1299943 писал(а):

А можно ли что-то сказать о непрерывности суммы неравномерно сходящегося ряда?

Знаю, что если сходится равномерно, то сумма непрерывна

[vpb]

Вот что полезно сделать. Возьмите $x=0,000001$ и подумайте, как доказать (без компьютера, конечно!), в меру своей сообразительности, что сумма первого из рядов не меньше, чем 1000.

[Dan B-Yallay]

Я бы вообще взял отрицательные околонулевые иксы: $x_i = -1/i, \quad i \in \mathbb N$

и посмотрел, что происходит с первым рядом в таких точках.

[vpb]

Dan B-Yallay в сообщении #1299950 писал(а):

Я бы вообще взял отрицательные околонулевые иксы: $x_i = -1/i, \quad i \in \mathbb N$
и посмотрел, что происходит с первым рядом в таких точках

Можно... но гораздо более поучительно считать, что мы рассматриваем только неотрицательные иксы.

[Dan B-Yallay]

vpb в сообщении #1299952 писал(а):

Можно... но гораздо более поучительно считать, что мы рассматриваем только неотрицательные иксы.

Ну, я не против. Тогда Вам и карты в руки.

[NSUmath]

vpb в сообщении #1299948 писал(а):

Вот что полезно сделать. Возьмите $x=0,000001$ и подумайте, как доказать (без компьютера, конечно!), в меру своей сообразительности, что сумма первого из рядов не меньше, чем 1000.

С этим разобрался

-- 27.03.2018, 03:36 --

Dan B-Yallay в сообщении #1299950 писал(а):

Я бы вообще взял отрицательные околонулевые иксы: $x_i = -1/i, \quad i \in \mathbb N$

и посмотрел, что происходит с первым рядом в таких точках.

В таких точках при некотором n первый ряд будет неопределён

[mihaild]

NSUmath в сообщении #1299957 писал(а):

С этим разобрался

А чему равна сумма первого ряда в нуле? Похоже ли, что его предел в нуле равен этой сумме?

[vpb]

NSUmath в сообщении #1299957 писал(а):

С этим разобрался

Так напишите (это должно быть недолго). А то вдруг Вы неправильно разобрались?