А есть какая-нибудь нетривиальная метрика на высказываниях?

[Papazol]

Есть какая-нибудь нетривиальная метрика на высказываниях?
Высказывания желательно разбить на классы эквивалентности (два высказывания считаем эквивалентными, если при одинаковых значениях переменных они принимают одинаковые значения) и уже между этими классами определить расстояние, причем не тривиальную метрику (т.е. не такую, что если две точки не равны, то расстояние между ними =1, если совпадают, то расстояние между ними =0)

[Anton_Peplov]

Странный вопрос. Абсолютно на любом носителе можно ввести метрику. Более того, бесконечным количеством разных способов. Тривиальный способ, годящийся для любого не более чем континуального $A$ - устанавливаете инъекцию $f: A \to \mathbb{R}$ и задаёте на $A$ метрику $\rho (a, b) = |f(a) - f(b)|$.

Вероятно, Вы хотите, чтобы эта метрика была полезна. Полезна для чего? Какую задачу Вы собираетесь решать с её помощью?

[Papazol]

ну, например, чтобы вместо сложных формул исчисления высказываний рассматривать упрощенные формулы (будут ошибки иногда возникать, ну и ладно)

зы. я эту причину только что придумал, на самом деле мне просто интересно

[Anton_Peplov]

То есть Ваш вопрос можно конкретизировать так: "Есть ли в логике задачи, которые принято решать путём введения метрики на множестве высказываний? Если да, то какие это задачи и какие это метрики?".

Я Вас правильно понял?

[Papazol]

для примера пусть имеем две формулы с двумя переменными
f(A, B) и g(A, B), на входе возможны 4 разных набора значений переменных
смотрим насколько совпадают значения формул на одинаковых наборах переменных, чем больше совпадений, тем формулы ближе

а если одна формула зависит от двух переменных, а другая от трех
f(A, B) и g(A, B, C)
не могу сообразить
добавлено после того как поразмыслил: примерно понял, если наборы переменных разные, то можно формально присоединить еще одну переменную, так чтобы истинность не менялась (правда число наборов переменных и число исходов удвоится)

-- 08.03.2018, 23:38 --

Anton_Peplov в сообщении #1296101 писал(а):

То есть Ваш вопрос можно конкретизировать так: "Есть ли в логике задачи, которые принято решать путём введения метрики на множестве высказываний? Если да, то какие это задачи и какие это метрики?".

Я Вас правильно понял?

Ну, можно и так понять.
Скорей всего кто-то этим уже занимался, вероятно, посмотрев на эти работы можно любопытство удовлетворить.

[mihaild]

Только это не формулы, а функции получаются.
Зависимость от разного числа переменных лечится легко - всегда можно фиктивные переменные добавить.

[Anton_Peplov]

Заключайте формулы и термы в знаки доллара, вот так:

$f(A, B)$

Тогда они будут выглядеть так: $f(A,B)$. Иначе бдительные модераторы снесут всё в Карантин.

Papazol в сообщении #1296102 писал(а):

для примера пусть имеем две формулы с двумя переменными
f(A, B) и g(A, B), на входе возможны 4 разных набора значений переменных
смотрим насколько совпадают значения формул на одинаковых наборах переменных, чем больше совпадений, тем формулы ближе

Докажите или опровергните аксиомы метрики для случая формул, зависящих от двух переменных. Это упражнение.

Papazol в сообщении #1296102 писал(а):

а если одна формула зависит от двух переменных, а другая от трех
f(A, B) и g(A, B, C)

То считайте, что обе зависят от трёх. Упражнение: составьте таблицу истинности для формулы $f(A, B, C) = A \wedge B$ как функции трёх переменных. Или для разминки для $f(A, B) = A$.

-- 08.03.2018, 22:55 --

mihaild в сообщении #1296104 писал(а):

Только это не формулы, а функции получаются.

Вольность речи. Если курс логики читается не настолько глубоко, чтобы делать различие между теорией доказательств и теорией моделей, то термины "формула", "функция" и "высказывание" понимаются как синонимы. Сталкивался с этим.

[Papazol]

mihaild в сообщении #1296104 писал(а):

Только это не формулы, а функции получаются.
Зависимость от разного числа переменных лечится легко - всегда можно фиктивные переменные добавить.

а на формулу нельзя как на функцию смотреть? буквочки принимают какие-то значения из множества {истина, ложь}, подставляя эти значения в формулу чего-то получаем из того же множества {истина, ложь}

понял, получается, что формулы разные могут быть (типа импликации выраженной через конъюнкцию и отрицание), но могут быть эквивалентными (совпадать как функции)

-- 09.03.2018, 00:41 --

Anton_Peplov в сообщении #1296105 писал(а):

Papazol в сообщении #1296102 писал(а):

для примера пусть имеем две формулы с двумя переменными
f(A, B) и g(A, B), на входе возможны 4 разных набора значений переменных
смотрим насколько совпадают значения формул на одинаковых наборах переменных, чем больше совпадений, тем формулы ближе

Докажите или опровергните аксиомы метрики для случая формул, зависящих от двух переменных. Это упражнение.

Смутно вспоминается метрика на конечных последовательностях
пусть даны конечные последовательности чисел длины $n$, пусть для двух последовательностей число совпадающих элементов равно $k$, тогда расстояние между ними равно $(n-k)/n$

типа такого чего-нить придумать, возможно что-то и путаю, свойства метрики надо проверить

зы. что-то не нашел такую метрику в интернете, хотя помнится что свойства забавные были (типа: любая точка шара являлась его центром), не могу вспомнить как конкретно задавалась метрика

[DeBill]

Papazol
Ну и давайте объявим расстояние между функциями равным вероятности того, что они принимают различные значения (в предположении равновероятности значений 0 и 1 переменных, и их независимости). И фиктивные переменные не будут мешать, и будет Вам хорошо....

[Markiyan Hirnyk]

Можно задать расстояние между двумя булевыми функциями как расстояние Хэмминга или расстояние Левенштейна между строками их значений.

[epros]

Теорию вероятностей можно рассматривать как теорию мер на высказываниях. При этом "расстоянием" между высказываниями $A$ и $B$ можно считать вероятностную меру высказывания "$A$ не равносильно $B$". Мне почему-то кажется, что такая метрика - ближе всего к тому, что ТС хотел услышать.