Представление дифференциальной p-формы

[demolishka]

Прошу проверить решение.

Есть такая задача (дело происходит на $n$-мерном $C^{\infty}$-гладком многообразии $M$).

Пусть $\Omega$ есть дифференциальная $p$-форма и $\omega$ есть дифференциальная $1$-форма, не равная нулю. Доказать, что $\Omega$ представима в виде $\Omega = \theta \wedge \omega$ тогда и только тогда, когда $\Omega \wedge \omega = 0$.

В сторону $\Rightarrow$: внешне домножить равенство $\Omega = \theta \wedge \omega$ на $\omega$ справа и использовать $\omega \wedge \omega = 0$.

В сторону $\Leftarrow$: используем внутреннее умножение $i_{X}$ дифференциальных форм, т. е. если $X, X_{2},\ldots,X_{p}$ --- векторные поля, то $i_{X}\Omega(X_{2},\ldots,X_{p}):=\Omega(X,X_{2},\ldots,X_{p})$. Тогда из условия задачи

$$i_{X}(\Omega \wedge \omega) = i_{X}(\Omega) \wedge \omega - \Omega \wedge i_{X}(\omega)=0$$

или $i_{X}(\omega) \Omega = i_{X}(\Omega) \wedge \omega$. Теперь надо выбрать векторное поле $X$ так, чтобы $i_{X}(\omega) \not = 0$. Пусть $p \in M$ произвольная точка и в локальных координатах $(x^{1},\ldots,x^{n})$ вблизи точки $p$ имеет место $\omega = \omega_{j} d x^{j}$. Одна из координат $\omega^{j_{p}}$ не равна нулю в некоторой окрестности (с компактным замыканием) $U_{p}$ точки $p$. Рассмотрим векторное поле $X_{p} = \pm\frac{\partial}{\partial x^{j_{p}}}$, где знак выбран так, чтобы $\omega(X_{p})>0$. Пусть окрестности $U_{p_{k}}, k=1,2,\ldots$ покрывают многообразие $M$ и $\{\psi_{k}\}$ --- соответствующее локально конечное разбиение единицы, $\operatorname{supp} \psi_{k} \subset U_{p_{k}}$. Тогда векторное поле $X=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \psi_{k}X_{p_{k}}$ искомое. Осталось поделить равенство $i_{X}(\omega) \Omega = i_{X}(\Omega) \wedge \omega$ на $i_{X}(\omega)>0$.

Правильно ли я склеил векторные поля?

[DeBill]

demolishka в сообщении #1295927 писал(а):

Правильно ли я склеил векторные поля?

Вроде -да. Но есть одно но....
А не доказали ли Вы заодно, что ежа причесать можно? (Коль производная не равна нулю - везде, то и само поле везде ненулевое....). Другими словами: что есть "ненулевая форма"? Не равная нулю нигде? Или как?

[demolishka]

DeBill, а сам факт существования такой формы не равной нулю (в каждой точке) в задаче постулируется. Тут следует представлять $M$ не как большое многообразие, а как некоторое открытое подмножество гладкого многообразия. А доказываем мы то, что в какой области выполнено равенство

demolishka в сообщении #1295927 писал(а):

$\Omega \wedge \omega = 0$

в такой же области можно и форму $\theta$ найти что

demolishka в сообщении #1295927 писал(а):

$\Omega = \theta \wedge \omega$

Тогда нет проблем с причесыванием ежа.

[DeBill]

demolishka
Ну да, условие существования такой формы само по себе есть ограничение на многообразие.
Но вот мне почему то кажется, что оно излишне крутое... Может, его вообще можно снять?
Чуть подработав Ваше доказательство? Хотя - по-простому - не получится, да.

[demolishka]

DeBill, дак зачем снимать, просто формулировку изменить. Пусть у нас изначально все выполняется не в $M$, а на некотором открытом подмножестве $U \subset M$ гладкого многообразия. А так действительно, как Вы заметили, существование ненулевого в $U$ векторного поля равносильно существованию ненулевой в $U$ дифференциальной $1$-формы.