2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопросы по мат. статистике.
Сообщение26.02.2018, 21:25 


22/05/16
171
Прочитал несколько параграфов по мат. статистике. 1) Вот пишут $M[D_v]=\frac{n-1}{n}D_g$. Не понятно как они это получили и доказательство не написано. Я вот попробовал $M[D_v]=M[\frac{\sum\limits_{i}^{n}n_i(x_i-\overline{x_v})^2}{n}]=M[\sum\limits_{i}^{n}\frac{n_ix_i^2}{n}-\sum\limits_{i}^{n}\frac{2n_ix_i\overline{x_v}}{n}+\frac{\overline{x_v}^2}{n}n]=M[\overline{x_v^2}-\overline{x_v}^2]$. Аналогично можно посчитать для $D_g=\overline{x_g^2}-\overline{x_g}^2$. В итоге $ M[\overline{x_v^2}-\overline{x_v}^2]=(\overline{x_g^2}-\overline{x_g}^2) \frac{n-1}{n}$. Что-то ерунда получается. Хотя в учебнике написано не трудно посчитать. Но как?
2) Доверительные интервалы для оценки М.О. нормального распределения,$\sigma$ известна .У нас $M(\overline{X}) =a, \sigma(\overline{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Потом пишут $P(|\overline{X}-a|<\delta)=\gamma=2\Phi(\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma})$. Тут в принципе все понятно. Потом демонстрируют подход через распределения Стьюдента С.В. $T=\frac{\overline{X}-a}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$. Где $S=\sqrt{\frac{n}{n-1}D_v}$. Почему в формуле $T=\frac{\overline{X}-a}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$ делиться на $S$, а не на $\sigma$ ? Если я правильно понял то, $S$ это оценочный параметр $\sigma$ зачем делить на оценочный параметр если нам известно истинное значение $\sigma$ ? С.В. $T$ распределена по закону Стьюдента.
3) В моем учебнике доверительные интервалы строят только для нормального распределения. Я решил попробовать для показательного. Пусть С.В. $X$ распределена по показательному закону распределения. Могу я записать так $M(\overline{X}) =\frac{1}{\hat{\lambda}} $, тогда $P(|\overline{X}- \frac{1}{\hat{\lambda}}|<\delta)=\gamma$, получим $P(\overline{X}-\delta<\frac{1}{\hat{\lambda}}<\overline{X}+\delta)=\int\limits_{\overline{X}-\delta}^{\overline{X}+\delta}\lambda e^{-\lambda x}=\gamma$ ? Спасибо !

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по мат. статистике.
Сообщение26.02.2018, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
1. Множитель $\frac n {n-1}$ (поправка Бесселя) появляется при расчёте несмещённой оценки дисперсии потому, что нам матожидание неизвестно, дана лишь его оценка $m=\frac{\Sigma x_i} n$. Расписав выражение, увидим, как появляется этот множитель. А неформально - среднее арифметическое "сдвигается" в сторону отдельных наблюдений, поэтому сумма квадратов относительно среднего меньше, чем относительно истинного значения матожидания. Вот и вводится поправка. В виде примера: сгенерировали 6 чисел, исходя из нулевого матожидания. Но в силу случайности сумма их не равна нулю.
(-2, -1, 0, 1, 2, 6)
Среднее получилось равным 1.
Сумма квадратов относительно нулевого матожидания $4+1+0+1+4+36=46$
Сумма квадратов относительно среднего $9+4+1+0+1+25=40$
2. Если Вам доступно истинное значение дисперсии - Вам очень-очень повезло. И тогда Вы вполне можете пользоваться нормальным распределением для получения доверительных интервалов для среднего. Только вот на практике у нас есть только оценка. Которая величина случайная, и если мы заменяем недостижимый идеал - истинное значение сигмы - на то, что у нас доступно, отношение двух случайных величин будет уже иметь иное распределение, а именно Стьюдента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по мат. статистике.
Сообщение27.02.2018, 18:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
dima_1985 в сообщении #1294560 писал(а):
Могу я записать так $M(\overline{X}) =\frac{1}{\hat{\lambda}} $,

Если неизвестный параметр Вы обозначили $\hat{\lambda}$, то можете. Однако обычно так оценки обозначают.

dima_1985 в сообщении #1294560 писал(а):
получим $P(\overline{X}-\delta<\frac{1}{\hat{\lambda}}<\overline{X}+\delta)=\int\limits_{\overline{X}-\delta}^{\overline{X}+\delta}\lambda e^{-\lambda x}=\gamma$ ?

Как я понимаю это равенство, $\overline{X}\pm\delta$ - это такие постоянные (в смысле, не случайные) границы изменения случайной величины $\frac{1}{\hat{\lambda}}$, а $\lambda e^{-\lambda x}$ - это плотность распределения этой случайной величины. И вот тут уже параметр обозначен $\lambda$. А интеграл обходится без дифференциала потому, что ему и так уже плохо. А ещё я так думаю, что $\hat{\lambda}=\frac{1}{\overline{X}}$, так что $|\overline{X} - \frac{1}{\hat{\lambda}}|$ - это чистый ноль.

:cry:

(Оффтоп)

Неужели так трудно найти нормальный источник знаний?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по мат. статистике.
Сообщение05.03.2018, 23:06 


22/05/16
171
C первыми двумя вопросами я разобрался. Доказательство на первый вопрос нашел в интернете. По второму вопросу понял, что существую подходы которые ориентированны только на нормальное распределение. Данные подходы позволяют оценить как $a$ по известному $\sigma$, так и $\sigma$ по известному $a$. Но существуют общие подходы которые позволят построить доверительный интервал для параметра $\theta$. Наткнулся на построение доверительного интервала с помощью центральных статистик. Вернемся к вопросу 3
dima_1985 в сообщении #1294560 писал(а):
Пусть С.В. $X$ распределена по показательному закону распределения
мне хочется построить доверительный интервал для $a$? Вот не понятно как функция выглядит $G(X;\theta)=\sum\limits_{i=1}^{n}\ln{1-e^ {-\theta X_i}}$ или с.в надо центрировать $\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{X_i-\frac{1}{\lambda}}{\frac{1}{\lambda}} =\lambda\overline{X}-1 $?

--mS-- в сообщении #1294765 писал(а):
Неужели так трудно найти нормальный источник знаний?
. Мне очень трудно.Прочитал у Д.Письменный Конспект лекций по Мат. стат и Тер. Вер у Гмурмана(доверительные интервалы) я понимаю что написано. Я прочитал тему topic19333-15.html и открывал Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика. но там не очень понятно написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по мат. статистике.
Сообщение07.03.2018, 11:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
dima_1985 в сообщении #1295621 писал(а):
Вот не понятно как функция выглядит $G(X;\theta)=\sum\limits_{i=1}^{n}\ln{1-e^ {-\theta X_i}}$ или с.в надо центрировать $\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{X_i-\frac{1}{\lambda}}{\frac{1}{\lambda}} =\lambda\overline{X}-1 $?

Если я правильно понимаю терминологию, "центральная статистика" - это функция от выборки и параметра, распределение которой не зависит от параметра. Таковых тут множество. Например, $\lambda n \overline X$ имеет гамма распределение с параметрами $1$ и $n$, т.е. распределение с плотностью
$$
f_{\lambda n \overline X}(x) = \frac{1}{(n-1)!} x^{n-1}\, e^{-x}, \ x>0.
$$
Если хочется что-то постандартнее, то $2\lambda n \overline X$ имеет гамма распределение с параметрами $1/2$ и $n$, т.е. хи-квадрат распределение с $2n$ степенями свободы. Берёте квантили $h_{\frac{1-\gamma}{2}}$ и $h_{\frac{1+\gamma}{2}}$ этого распределения, получаете
$$
\mathsf P\left(h_{\frac{1-\gamma}{2}}\leqslant 2\lambda n \overline X \leqslant h_{\frac{1+\gamma}{2}}\right) =\gamma.
$$
Выражаете $\lambda$ и получаете точный доверительный интервал уровня доверия $\gamma$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group