Идентификация неотрицательного оригинала

[Ms-dos4]

Появилась ещё одна 'проблема', видимо имеющая элементарное решение но я в силу своего невежества его не знаю. Итак, нам известно преобразование Лапласа $\hat f(\lambda )$ существующее на всей правой полуплоскости и зависящее от набора параметров ${\alpha _1},..,{\alpha _n}$. Необходимо узнать, является ли оригинал неотрицательной функцией или нет. Мои мысли следующие - мы можем определить новую функцию $\hat \varphi (\lambda ) = {{\hat f}^{ - 1}}(0)\hat f(\lambda )$, теперь если её оригинал неотрицателен - это плотность вероятности. Но тогда ${( - 1)^k}{{\hat \varphi }^{(k)}}(\lambda ) > 0$ для $\lambda > 0$. Но мне это как критерий не нравится, во всяком случае на нужных нам функциях его применять очень неудобно. Есть ли что-нибудь получше? Спасибо.
P.S.Мужскую часть форума с праздником!

[Vince Diesel]

Ms-dos4 в сообщении #1293971 писал(а):

Но тогда ${( - 1)^k}{{\hat \varphi }^{(k)}}(\lambda ) > 0$ для $\lambda > 0$.

Такая функция $\varphi$ будет достаточно быстро убывающей. Другие неотрицательные функции не рассматриваются?

[Ms-dos4]

Vince Diesel
Вообще от оригинала точно требуется \int\limits_0^{ + \infty } {\left| {f(t)} \right|dt} < + \infty (это гарантируется физической основой задачи)

[Vince Diesel]

Преобразование Фурье от неотрицательных мер называются положительно определенными функциями. И есть теорема Бохнера, которая дает критерий такой положительной определенности. Может быть, есть что-то подобное и для Лапласа. Только критерий Бохнера, думаю, еще сложнее проверять, чем производные - там суммы.

[mihiv]

Если $\hat f(\infty )=0$, то достаточным условием положительности $f(t)$ является положительность коэффициентов разложения $\hat f(\lambda )$ в ряд Лорана в окрестности точки $\lambda =\infty .$

[Ms-dos4]

mihiv
Спасибо, действительно, это выполняется, но честно говоря в общем случае всё равно применить критерий так же трудно. Видимо придётся ограничится утверждениями на конкретных параметрах.