Насколько могут быть малы дробные части нецелых степеней?

[fractalon]

Пусть $\alpha>0$ - нецелое. Верно ли, что $\lim \limits_{n \to \infty} {\frac{ \log(\left\lbrace{n^{\alpha}}\right\rbrace) }{\log \left({\frac{1}{n}}\right) }}=0$?

(Оффтоп)

Вопрос возник в связи с упражнением из книги, где предлагается доказать равномерность $n \theta + \sin(2 \pi \sqrt{n})$ в $(0;1)$ при иррациональном $\theta$. Основное содержание параграфа, где содержится это упражнение - теорема о равномерности последовательностей с условиями $a_n \to 0$, $n a_n \to \infty$.

[thething]

fractalon в сообщении #1293051 писал(а):

теорема о равномерности последовательностей

Уточните, пожалуйста, это понятие.
По Вашему пределу: пусть $\alpha=\frac{1}{2}$. Рассмотрим подпоследовательность с номерами $n=1+k^2$. Поскольку $\sqrt{1+k^2}\sim{k+\frac{1}{2k}}$, то $\left\lbrace\sqrt{1+k^2}\right\rbrace\sim\frac{1}{2k}$. Дальше предел считаем элементарно и получаем ответ $\frac{1}{2}$. Это я просто прикинул, перепроверьте

[alcoholist]

thething в сообщении #1293093 писал(а):

Рассмотрим подпоследовательность с номерами $n=1+k^2$

стоит число и думает: далеко ли до квадрата?

[thething]

alcoholist
Вместе с критикой (если это, конечно, критика), неплохо было бы предложить что-то по существу вопроса. Полагаю, ТС был бы не против. Если же я Вас как-то неправильно понял, то заранее извиняюсь.

[fractalon]

thething в сообщении #1293093 писал(а):

fractalon в сообщении #1293051

писал(а):
теорема о равномерности последовательностей
Уточните, пожалуйста, это понятие.

Если $\lim \limits_{x \to \infty} {f'(x)} = 0$ и $\lim \limits_{x \to \infty} {x f'(x)} = \infty$, то последовательность $(f(n))_{n=1}^{\infty}$ равномерно распределена в $(0;1)$, то есть $\forall \delta \in (0;1): D(\left\lbrace{n : a_n < \delta}\right\rbrace) = \delta$, где $D$ - асимптотическая плотность последовательности. То же самое верно, если условия выполняются не для $f'$ а для какой-нибудь более старшей производной.
Это у Кейперса и Нидеррейтера в монографии соответствующей.

А пример ваш и его идея действительно проясняют вопрос. Спасибо.