Стохастический интегралы для многомерного пространства

[mak1610]

Доброго времени суток!

При самостоятельном изучении стохастических интегралов Ито и Стартоновича возник такой вопрос. А что если обобщить и рассмотреть случай Броуновского движения в случае $ n \geq 2$. Как вообще трактовать следующий интеграл

$\int f(x) d W_{x}$

где $x$ - вектор. Также интересует вопрос численного вычисление этого объекта. Буду благодарен ответам, ссылкам на соответствующую литературу.

[dsge]

mak1610 в сообщении #1292376 писал(а):

Как вообще трактовать следующий интеграл
$\int f(x) d W_{x}$
где $x$ - вектор

Никак. Что такое $f(x) d W_{x}$? $f(x)$? Интеграл неопределенный???

[mak1610]

dsge в сообщении #1292523 писал(а):

mak1610 в сообщении #1292376 писал(а):

Как вообще трактовать следующий интеграл
$\int f(x) d W_{x}$
где $x$ - вектор

Никак. Что такое $f(x) d W_{x}$? $f(x)$? Интеграл неопределенный???

Для начала пусть $f(x)$ - детерминированная измеримая функция. Интеграл по какой-нибудь ограниченой области $D$. В этом и вопрос, существует ли такой интеграл как объект, ведь почему бы и не обобщить интеграл Ито на более высокие размерности

[dsge]

mak1610 в сообщении #1292524 писал(а):

существует ли такой интеграл как объект, ведь почему бы и не обобщить интеграл Ито на более высокие размерности

В любом современном учебнике по случайным процессам можно это найти (Оксендаль, Ширяев-Булинский, Вентцель А.Д.) и даже в англоВики:
[url]https://en.wikipedia.org/wiki/It%C3%B4%27s_lemma#Mathematical_formulation_of_Itô's_lemma[/url]

[mak1610]

dsge в сообщении #1292526 писал(а):

mak1610 в сообщении #1292524 писал(а):

существует ли такой интеграл как объект, ведь почему бы и не обобщить интеграл Ито на более высокие размерности

В любом современном учебнике по случайным процессам можно это найти (Оксендаль, Ширяев-Булинский, Вентцель А.Д.) и даже в англоВики:
[url]https://en.wikipedia.org/wiki/It%C3%B4%27s_lemma#Mathematical_formulation_of_Itô's_lemma[/url]

Я же написал, что случай Броуновского движения для $n \geq 2$, т.е. когда у нас $n$ независимых переменных. В этой ссылке рассмотрен случай, когда у нас вектор из винеровских процессов, но они зависят только от времени $t$.

[dsge]

mak1610 в сообщении #1292528 писал(а):

т.е. когда у нас $n$ независимых переменных.

Независимых от чего? От Винеровского процесса? Или процесс от них не зависит? Тогда они выносятся за интеграл.

[mak1610]

dsge в сообщении #1292529 писал(а):

mak1610 в сообщении #1292528 писал(а):

т.е. когда у нас $n$ независимых переменных.

Независимых от чего? От Винеровского процесса? Или процесс от них не зависит? Тогда они выносятся за интеграл.

В записи выше $d W_x$, где $x$ - вектор, понимается следующее:

$W_x = W(x_1, x_2, ..., x_n)$. Когда у нас в случайном процессе несколько переменных.

[dsge]

mak1610 в сообщении #1292530 писал(а):

В записи выше $d W_x$, где $x$ - вектор, понимается следующее:
$W_x = W(x_1, x_2, ..., x_n)$. Когда у нас в случайном процессе несколько переменных.

Вы знаете определения Винеровского (Броуновского) процесса? Там никаких независимых переменных нет.

[mak1610]

dsge в сообщении #1292531 писал(а):

mak1610 в сообщении #1292530 писал(а):

В записи выше $d W_x$, где $x$ - вектор, понимается следующее:
$W_x = W(x_1, x_2, ..., x_n)$. Когда у нас в случайном процессе несколько переменных.

Вы знаете определения Винеровского (Броуновского) процесса? Там никаких независимых переменных нет.

Слушайте, я же спрашиваю про существование обобщений интеграла Ито, а тут начинается какая-то проверка определений. Возьмите пространство $\mathbb{R}^n$, введите там сигма-алгебру и соответствующую меру Лебега. Так вот можно обобщить конструкцию процесса на пространство $n$ измерений, где требуются только следующие вещи:
1. Для любого события $A$, значение $W(A)$ - нормально распределенная случайная величина с соответствующими параметрами
2. Для непересекающихся событий соответствующие случайные величины независимы.

Не вижу никаких препятствий называть это Броуновским движением (а правильнее Винеровсим/Броуновсим случайным полем). А если вы не знаете обобщений интегрирования на случай случайных полей, то зачем тут писать?

[dsge]

mak1610 в сообщении #1292534 писал(а):

1. Для любого события $A$, значение $W(A)$ - нормально распределенная случайная величина с соответствующими параметрами

В самом деле зачем тут такое писать? Пургаторий более подходящее место.

[mak1610]

dsge в сообщении #1292538 писал(а):

mak1610 в сообщении #1292534 писал(а):

1. Для любого события $A$, значение $W(A)$ - нормально распределенная случайная величина с соответствующими параметрами

В самом деле зачем тут такое писать? Пургаторий более подходящее место.

Ну хорошо, если вы не знакомы с такими объектами как случайное поле, то вот точное определение:
1. Для любого $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ случайная величина $W(A)$ является $\mathcal{N}(0, \mu(A))$, где $\mu$ - мера Лебега
2. Для любых $A, B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$, если $A$ и $B$ не пересекаются, то $W(A)$ и $W(B)$ независимы.

Является естественным обобщением случайного процесса на случай, когда случайные величины зависят от нескольких переменных, а не одной.

[dsge]

Многомерное время? Слышал, что даже с комплексным временем возникают значительные технические проблемы. Что-то пытался делать в этом направлении Скороход. Погуглите: Stochastic calculus and random field.

[--mS--]

Я ни разу не специалист, но может, это будет полезным?
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus