2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 найти интересную сумму
Сообщение09.02.2018, 20:03 
$\dfrac{1}{1!+2!+3!}+\dfrac{1}{2!+3!+4!}+\cdots+\dfrac{1}{2016!+2017!+2018!}$
моя попытка:
$\dfrac{1}{1!+2!+3!}+\dfrac{1}{2!+3!+4!}+\cdots+\dfrac{1}{2016!+2017!+2018!}=\dfrac{1}{1!(1+2+2\cdot3)}+\cdots+\dfrac{1}{2016!(1+2017+2017\cdot2018)}=\dfrac{1}{1!\cdot3\cdot3}+\dfrac{1}{2!\cdot4\cdot4}+\cdots+\dfrac{1}{2016!\cdot2018\cdot2018}=\dfrac{2}{3!\cdot3}+\dfrac{3}{4!\cdot4}+\cdots+\dfrac{2017}{2018!\cdot2018}=\left(\dfrac{1}{3!}-\dfrac{1}{3!\cdot3}\right)+\left(\dfrac{1}{4!}-\dfrac{1}{4!\cdot4}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2018!}-\dfrac{1}{2018!\cdot2018}\right)$
дальше несмог

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение09.02.2018, 20:32 
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- кому надо найти сумму?
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение10.03.2018, 22:49 
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 
 
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение10.03.2018, 23:12 
Аватара пользователя
Можно ещё попробовать преобразовать $$\frac 1{n!\cdot n}=\frac{n+1}n\cdot\frac 1{(n+1)!}$$ и объединить со следующим слагаемым… Дальнейших идей пока нет.

 
 
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение11.03.2018, 04:53 
Аватара пользователя
Можете вот такое использовать: $n!+(n+1)!+(n+2)!{=}n!(n+2)^2$. Правда дальше меня вводит в ступор то, что сумма конечна, а не является рядом

 
 
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение11.03.2018, 04:55 
Someone в сообщении #1296595 писал(а):
Можно ещё попробовать преобразовать $$\frac 1{n!\cdot n}=\frac{n+1}n\cdot\frac 1{(n+1)!}$$ и объединить со следующим слагаемым… Дальнейших идей пока нет.

я это пробовал уже, по моему ни чего не даёт

-- 11.03.2018, 06:59 --

thething в сообщении #1296647 писал(а):
Можете вот такое использовать: $n!+(n+1)!+(n+2)!{=}n!(n+2)^2$. Правда дальше меня вводит в ступор то, что сумма конечна, а не является рядом

вот это как раз и использовал

 
 
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение11.03.2018, 06:23 
7
Someone в сообщении #1296595 писал(а):
Можно ещё попробовать преобразовать $$\frac 1{n!\cdot n}=\frac{n+1}n\cdot\frac 1{(n+1)!}$$ и объединить со следующим слагаемым… Дальнейших идей пока нет.

получаем сумму из $\dfrac{1}{(n+1)!\cdot n}$ а дальше как?

 
 
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение11.03.2018, 09:32 
Аватара пользователя
Немного рассуждений, которые у меня получились: если обозначить $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{2018}\frac{x^{n+2}}{n!(n+2)^2}$, то можно прийти к дифференциальному
уравнению $(xf'(x))'=x(e^x-1)$, где $e^x\approx\sum\limits_{n=0}^{2018}\frac{x^n}{n!}$ с ошибкой порядка $\frac{1}{2019!}$. При решении дифура вылезает интегральная экспонента и тогда у меня вопрос: а можно ли вообще посчитать эту сумму сколько-нибудь красиво? Или даже вот такая маленькая погрешность все-таки влияет на окончательный результат?

 
 
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение11.03.2018, 09:35 
thething в сообщении #1296671 писал(а):
Немного рассуждений, которые у меня получились: если обозначить $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{2018}\frac{x^{n+2}}{n!(n+2)^2}$, то можно прийти к дифференциальному
уравнению $(xf'(x))'=x(e^x-1)$, где $e^x\approx\sum\limits_{n=0}^{2018}\frac{x^n}{n!}$ с ошибкой порядка $\frac{1}{2019!}$. При решении дифура вылезает интегральная экспонента и тогда у меня вопрос: а можно ли вообще посчитать эту сумму в конечном виде? Или даже вот такая маленькая погрешность все-таки влияет на окончательный результат?

это задача для школьников 11класса

 
 
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение11.03.2018, 10:41 
WolframAlpha выдает отношение двух сверхгигантских чисел.

 
 
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение12.03.2018, 10:04 
неужели ни у кого больше никаких идей не нашлось?

 
 
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение12.03.2018, 10:57 
isf_litsey6 в сообщении #1296672 писал(а):
это задача для школьников 11класса

Непохоже, что задача имеет какое-то "красивое" решение.
Уже пять первых слагаемых дают четыре верных значащих цифры.

 
 
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение12.03.2018, 11:39 
Аватара пользователя
Пока игрался с факториалами, наткнулся на интересную сумму ряда, о которой я раньше не знал:

$\sum\limits_{0}^{\infty}\frac{1}{n!+(n+1)!}=1$,

соответственно:

$\sum\limits_{1}^{\infty}\frac{1}{n!+(n+1)!}=\frac{1}{2}$.

Но для ряда из предложенной задачи это, видимо, бесполезно...

 
 
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение12.03.2018, 11:54 
Лукомор в сообщении #1296928 писал(а):
Но для ряда из предложенной задачи это, видимо, бесполезно...

Вольфрам считает как сумму ряда так и частичную сумму, но результат явно не школьный.

 
 
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение04.11.2018, 09:36 
оказывается если в числителях вместо 1 было бы 3,4,...,2018 получалось бы красивая задача и хороший ответ. может быть произошла ошибка в тексте?
а если числители будут соответственно 1,2,3,...,2016 можно ли решить ? если да то думаю из этих двух сумм можно составить решение данной суммы

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group