2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 найти интересную сумму
Сообщение09.02.2018, 20:03 


09/02/18
16
$\dfrac{1}{1!+2!+3!}+\dfrac{1}{2!+3!+4!}+\cdots+\dfrac{1}{2016!+2017!+2018!}$
моя попытка:
$\dfrac{1}{1!+2!+3!}+\dfrac{1}{2!+3!+4!}+\cdots+\dfrac{1}{2016!+2017!+2018!}=\dfrac{1}{1!(1+2+2\cdot3)}+\cdots+\dfrac{1}{2016!(1+2017+2017\cdot2018)}=\dfrac{1}{1!\cdot3\cdot3}+\dfrac{1}{2!\cdot4\cdot4}+\cdots+\dfrac{1}{2016!\cdot2018\cdot2018}=\dfrac{2}{3!\cdot3}+\dfrac{3}{4!\cdot4}+\cdots+\dfrac{2017}{2018!\cdot2018}=\left(\dfrac{1}{3!}-\dfrac{1}{3!\cdot3}\right)+\left(\dfrac{1}{4!}-\dfrac{1}{4!\cdot4}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2018!}-\dfrac{1}{2018!\cdot2018}\right)$
дальше несмог

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение09.02.2018, 20:32 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- кому надо найти сумму?
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение10.03.2018, 22:49 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение10.03.2018, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18010
Москва
Можно ещё попробовать преобразовать $$\frac 1{n!\cdot n}=\frac{n+1}n\cdot\frac 1{(n+1)!}$$ и объединить со следующим слагаемым… Дальнейших идей пока нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение11.03.2018, 04:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Можете вот такое использовать: $n!+(n+1)!+(n+2)!{=}n!(n+2)^2$. Правда дальше меня вводит в ступор то, что сумма конечна, а не является рядом

 Профиль  
                  
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение11.03.2018, 04:55 


09/02/18
16
Someone в сообщении #1296595 писал(а):
Можно ещё попробовать преобразовать $$\frac 1{n!\cdot n}=\frac{n+1}n\cdot\frac 1{(n+1)!}$$ и объединить со следующим слагаемым… Дальнейших идей пока нет.

я это пробовал уже, по моему ни чего не даёт

-- 11.03.2018, 06:59 --

thething в сообщении #1296647 писал(а):
Можете вот такое использовать: $n!+(n+1)!+(n+2)!{=}n!(n+2)^2$. Правда дальше меня вводит в ступор то, что сумма конечна, а не является рядом

вот это как раз и использовал

 Профиль  
                  
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение11.03.2018, 06:23 


09/02/18
16
7
Someone в сообщении #1296595 писал(а):
Можно ещё попробовать преобразовать $$\frac 1{n!\cdot n}=\frac{n+1}n\cdot\frac 1{(n+1)!}$$ и объединить со следующим слагаемым… Дальнейших идей пока нет.

получаем сумму из $\dfrac{1}{(n+1)!\cdot n}$ а дальше как?

 Профиль  
                  
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение11.03.2018, 09:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Немного рассуждений, которые у меня получились: если обозначить $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{2018}\frac{x^{n+2}}{n!(n+2)^2}$, то можно прийти к дифференциальному
уравнению $(xf'(x))'=x(e^x-1)$, где $e^x\approx\sum\limits_{n=0}^{2018}\frac{x^n}{n!}$ с ошибкой порядка $\frac{1}{2019!}$. При решении дифура вылезает интегральная экспонента и тогда у меня вопрос: а можно ли вообще посчитать эту сумму сколько-нибудь красиво? Или даже вот такая маленькая погрешность все-таки влияет на окончательный результат?

 Профиль  
                  
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение11.03.2018, 09:35 


09/02/18
16
thething в сообщении #1296671 писал(а):
Немного рассуждений, которые у меня получились: если обозначить $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{2018}\frac{x^{n+2}}{n!(n+2)^2}$, то можно прийти к дифференциальному
уравнению $(xf'(x))'=x(e^x-1)$, где $e^x\approx\sum\limits_{n=0}^{2018}\frac{x^n}{n!}$ с ошибкой порядка $\frac{1}{2019!}$. При решении дифура вылезает интегральная экспонента и тогда у меня вопрос: а можно ли вообще посчитать эту сумму в конечном виде? Или даже вот такая маленькая погрешность все-таки влияет на окончательный результат?

это задача для школьников 11класса

 Профиль  
                  
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение11.03.2018, 10:41 


21/05/16
4292
Аделаида
WolframAlpha выдает отношение двух сверхгигантских чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение12.03.2018, 10:04 


09/02/18
16
неужели ни у кого больше никаких идей не нашлось?

 Профиль  
                  
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение12.03.2018, 10:57 


05/09/16
12130
isf_litsey6 в сообщении #1296672 писал(а):
это задача для школьников 11класса

Непохоже, что задача имеет какое-то "красивое" решение.
Уже пять первых слагаемых дают четыре верных значащих цифры.

 Профиль  
                  
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение12.03.2018, 11:39 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
Пока игрался с факториалами, наткнулся на интересную сумму ряда, о которой я раньше не знал:

$\sum\limits_{0}^{\infty}\frac{1}{n!+(n+1)!}=1$,

соответственно:

$\sum\limits_{1}^{\infty}\frac{1}{n!+(n+1)!}=\frac{1}{2}$.

Но для ряда из предложенной задачи это, видимо, бесполезно...

 Профиль  
                  
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение12.03.2018, 11:54 


05/09/16
12130
Лукомор в сообщении #1296928 писал(а):
Но для ряда из предложенной задачи это, видимо, бесполезно...

Вольфрам считает как сумму ряда так и частичную сумму, но результат явно не школьный.

 Профиль  
                  
 
 Re: найти интересную сумму
Сообщение04.11.2018, 09:36 


09/02/18
16
оказывается если в числителях вместо 1 было бы 3,4,...,2018 получалось бы красивая задача и хороший ответ. может быть произошла ошибка в тексте?
а если числители будут соответственно 1,2,3,...,2016 можно ли решить ? если да то думаю из этих двух сумм можно составить решение данной суммы

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group