2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Действие в классической механике и масштабное преобразование
Сообщение09.02.2018, 19:37 


22/06/12
417
Для свободной частицы в классическом случае выглядит как:
$$S=\frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2dt$$
Действие не инвариантно относительно масштабного преобразования:
t \rightarrow \alpha t
x \rightarrow \beta x
С другой стороны, на сколько я знаю, классическая механика инвариантна относительно масштабных преобразований = смене системы единиц. Пожалуйста объясните где я ошибаюсь?
Для квантовой механики такой проблемы нет, так как там действие делится на постоянную планку, которая обезразмеривает его.

 Профиль  
                  
 
 Re: дейстие в классической механике и масштабное преобразование
Сообщение09.02.2018, 19:52 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Ну умножится действие на константу, и что, с экстремалями же ничего не случится.

 Профиль  
                  
 
 Re: дейстие в классической механике и масштабное преобразование
Сообщение09.02.2018, 21:40 


22/06/12
417
Slav-27
Просто обычно учат что теория будет обладать теми симметриями, которые заложены в действие. Можно ли сказать что масштабное преобразование всё же заложено в действие так как оно определенно в точности до мультипликативного множителя?

 Профиль  
                  
 
 Re: дейстие в классической механике и масштабное преобразование
Сообщение09.02.2018, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
illuminates в сообщении #1291495 писал(а):
ожно ли сказать что масштабное преобразование всё же заложено в действие так как оно определенно в точности до мультипликативного множителя?
Вопрос философский, но обычно принято считать, что первичны уравнения движения (уравнение Эйлера-Лагранжа). Тогда считается, что действие инвариантно, если преобразование не меняет этих уравнений. С этой точки зрения, умножение на константу, добавление полного дифференциала и т.п. не меняет действия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дейстие в классической механике и масштабное преобразование
Сообщение09.02.2018, 23:25 


27/08/16
10151
В тему, для меня так и остался невыясненным вопрос, почему в теориях относительности действие постулируется 4-скаляром? Для простоты и красоты, или в этом заложена какая-то более глубокая идея? Ведь всегда к действию можно добавить функцию координат (а к лагранжиану - полный дифференциал этой функции), и менять эту функцию при преобразованиях координат произвольным образом без изменений уравнений движения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дейстие в классической механике и масштабное преобразование
Сообщение10.02.2018, 01:11 


07/07/12
402
realeugene, мы хотим получить уравнения движения инваринтные отоносительно преобразований Лоренца. Оказывается, что если действие --- Лоренц-скаляр, соответствующие уравнения движения гарантировано Лоренц-инвариантны, как следует из принципа Гамильтона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дейстие в классической механике и масштабное преобразование
Сообщение10.02.2018, 10:01 
Заморожен


16/09/15
946
Как я понимаю, вопрос realeugene не в том, почему действие такое, а почему не записали по-другому, не прибавили полную производную по времени к лагранжиану.
Просто, чтобы не вводить новые обозначения, раз $s$ есть.
Обратный пример: для действия гравитационного поля в ОТО лагранжиан обычно пишут с $R$, хотя подразумевается, что там содержится добавка, не подлежащая варьированию, в которой содержатся вторые производные. А "усеченное действие" писать дольше.
То есть, тогда да, выбирают из класса всевозможных действий с одинаковыми уравнениями движения то, которое красивее записать.
(а почему вообще рассматриваем такой класс, где есть 4-скаляр, выше описал physicsworks)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дейстие в классической механике и масштабное преобразование
Сообщение10.02.2018, 12:16 


27/08/16
10151

(Оффтоп)

Внизу у каждого поста есть кнопка "пожаловаться", с восклицательным знаком на ней. Модераторы реагируют на кнопку быстрее, чем просто на возмущение в теме.


Erleker в сообщении #1291542 писал(а):
Просто, чтобы не вводить новые обозначения, раз $s$ есть.

Собственно, вопрос был в том, только ли из-за этого? Лоренц-инвариантность уравнений движения наблюдаема и вопросов, разумеется, не вызывает. Но ноги у этого вопроса растут в наблюдении, что в ньютоновской механике (да и в квантах) энергия определена с точностью до константы. В СТО прибавление произвольной константы к энергии приводит к тому, что действие перестаёт быть 4-скаляром, а энергия-импульс 4-вектором, но, кажется, и всё. Неудобно, но пока ещё ничего фатального, раз уравнения движения те же самые. А в ОТО ТЭИ является источником гравполя и, поэтому, наблюдаем. Или всё же не полностью? Но ломать этот 4-тензор не хочется совсем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в классической механике и масштабное преобразование
Сообщение12.02.2018, 03:37 


07/07/12
402
Нельзя просто так рассуждать о добавлении произвольной константы к энергии. В релятивистской физике, ровно как и в гравитации, свдиг энергии наблюдаем, в нерелятивистской же физике (и без учета эффектов гравитации) он ненаблюдаем, энергия определена с точностью до произвольной константы.

В (специальной) теории относительности энергия есть временная компонента 4-вектора импульса и поэтому важно нулевая она или нет. Энергия пустового простарнства Минковского должна быть нулевой, иначе энергия этого состояния не была бы Лоренц-инвариантной и можно было бы трансформировать ненулевую энергию в ненулевой 3-импульс посредством лоренцева буста.

В ОТО, поскольку энергия является источником кривизны пространства-времени, сдвиги энергии тоже оказываются важными и наблюдаемыми. Однородный сдвиг плотности энергии во Вселенной искривляет вакуум и называется космологической постоянной. Кроме того, темная энергия, оказывается, сохраняет лоренцеву симметрию.

-- 12.02.2018, 04:44 --

Так же сдвиг энергии становится наблюдаем когда можно сравнивать конфигурации, в которых струкутра энергетических уровней гармонических осцилляторов различна (эффект Казимира; метастабильные состояния, поведение которых для низких уровней энергии подобно гармоническому осциллятору и т.д.).

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в классической механике и масштабное преобразование
Сообщение12.02.2018, 05:07 


27/08/16
10151
physicsworks в сообщении #1291912 писал(а):
и можно было бы трансформировать ненулевую энергию в ненулевой 3-импульс посредством лоренцева буста.
Да, я упомянул, что тогда энергия-импульс перестали бы быть 4-вектором, что на мой взгляд неудобно, но не фатально. Их бы пришлось преобразовывать между ИСО иначе. Вобще, в ньютоновской механике это дело привычное. Но разве это наблюдаемое отличие?

-- 12.02.2018, 05:10 --

physicsworks в сообщении #1291912 писал(а):
Так же сдвиг энергии становится наблюдаем когда можно сравнивать конфигурации, в которых струкутра энергетических уровней гармонических осцилляторов различна (эффект Казимира; метастабильные состояния, поведение которых для низких уровней энергии подобно гармоническому осциллятору и т.д.).
Что мешает прибавить без последствий для результатов наблюдений одну и ту же добавку к энергии ко всем уровням квантовой системы сразу? Разность между парами уровней при этом никак не меняется. Ко всем состояниям добавляется вращающийся с одинаковой частотой фазовый множитель, что не влияет на результаты наблюдений

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в классической механике и масштабное преобразование
Сообщение12.02.2018, 09:34 


07/07/12
402
realeugene в сообщении #1291918 писал(а):
Да, я упомянул, что тогда энергия-импульс перестали бы быть 4-вектором, что на мой взгляд неудобно, но не фатально. Их бы пришлось преобразовывать между ИСО иначе. Вобще, в ньютоновской механике это дело привычное. Но разве это наблюдаемое отличие?
опять же, энергия пустого пространства Минковского должна быть нулевой, а не произвольной, иначе теряется лоренц-инвариантность.
realeugene в сообщении #1291918 писал(а):
Что мешает прибавить без последствий для результатов наблюдений одну и ту же добавку к энергии ко всем уровням квантовой системы сразу? Разность между парами уровней при этом никак не меняется. Ко всем состояниям добавляется вращающийся с одинаковой частотой фазовый множитель, что не влияет на результаты наблюдений
мешает то, что энергия нулевых колебаний пропорциональна частоте и, например, в случае эффекта Казимира, если прибавить произвольную постоянную $\Delta$ ко всем уровням энергии, cоответствующая сила между двумя пластинами после процедуры регуляризации (когда моды с большыми частотами обрезаются) получит добавку, пропорциональную этой вашей произвольной постоянной $\Delta$. А сила эта наблюдаемая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в классической механике и масштабное преобразование
Сообщение12.02.2018, 12:58 


27/08/16
10151
physicsworks в сообщении #1291945 писал(а):
иначе теряется лоренц-инвариантность.

Что именно перестаёт быть лоренц-инвариантным? К действию добавляется зависящая от выбора ИСО функция времени, которая не влияет на уравнения движения относительно этой ИСО. Для произвольной ИСО. А если уравнения движения не меняются, то как вы предлагаете увидеть лоренц неинвариантность?

-- 12.02.2018, 13:01 --

physicsworks в сообщении #1291945 писал(а):
когда моды с большыми частотами обрезаются

К сожалению, я не настолько хорошо знаком с КЭД, чтобы вас понимать. Вы произвольно выбираете порог отсечения мод по их энергии, после чего не меняете его при прибавлении к энергии константы и обнаруживаете, что поменялись предсказания теории?

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в классической механике и масштабное преобразование
Сообщение12.02.2018, 13:32 


07/07/12
402
realeugene в сообщении #1291983 писал(а):
Что именно перестаёт быть лоренц-инвариантным?
состояние с нулевой энергией.
realeugene в сообщении #1291983 писал(а):
К сожалению, я не настолько хорошо знаком с КЭД, чтобы вас понимать. Вы произвольно выбираете порог отсечения мод по их энергии, после чего не меняете его при прибавлении к энергии константы и обнаруживаете, что поменялись предсказания теории?
можно пользоваться любым регулятором при котором вклад мод с бесконечными энергиями подавялется, это асболютно неважно. Эффект Казимира не зависит от регулятора, будь это жесткое обрезание мод или гауссова функция, или Дзета-функция Римана, и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в классической механике и масштабное преобразование
Сообщение12.02.2018, 13:38 


27/08/16
10151
physicsworks в сообщении #1291994 писал(а):
состояние с нулевой энергией.
То есть только в КЭД?

-- 12.02.2018, 13:42 --

physicsworks в сообщении #1291994 писал(а):
можно пользоваться любым регулятором при котором вклад мод с бесконечными энергиями подавялется, это асболютно неважно.
И при этом получается иной набор неотсечённых мод при сдвиге нулевой энергии? Потому что для любой наблюдаемой вклад в сумму каждой пары мод, для которой разность энергии не изменяется, тоже не изменяется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действие в классической механике и масштабное преобразование
Сообщение12.02.2018, 14:22 


07/07/12
402
realeugene в сообщении #1291995 писал(а):
То есть только в КЭД?
в КТП с плоским пространством-временем.
realeugene в сообщении #1291995 писал(а):
И при этом получается иной набор неотсечённых мод при сдвиге нулевой энергии? Потому что для любой наблюдаемой вклад в сумму каждой пары мод, для которой разность энергии не изменяется, тоже не изменяется.
здесь легче самому посчитайть и увидеть, что к чему и как. Для скалярного поля можно. Допустим, пользуемся heat-kernel регулятором:

$\displaystyle E(r) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \omega_n e^{-\omega_n/\pi \Lambda}$,

где $\omega_n = \pi n /r$, $r$ --- расстояние между пластинами.

Чтобы избавится от трудностей, обычно возникающих при рассчетах эффекта Казимира, можно воспользоваться таким трюком: поместить справа от от двух пластин, между которыми расстояние $a$, еще одну на расстоянии $L \gg a$, которое затем устремляется к бесконечности:
| <-a-> | ................... |
<--------L-------->
Тогда полная энергия получается:
$E_{tot} = E(a) + E(L-a)$, а сила Казимира есть
$F = - \frac{dE_{tot}}{da} \big|_{L \to \infty} = -\frac{\pi}{24 a^2}$ или после восстановления единиц $-\frac{\pi \hbar c}{24 a^2}$

Вот теперь сдвиньте каждую моду на $\Delta$, и увидите что сила получит добавку пропорциональную $\Delta$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group