Числа Млаурнса

[Ktina]

Марсианский математик Млаурнс, в детстве иммигрировавший на Марс с Луны (отсюда и его фамилия), открыл новый вид чисел, впоследствии названных в его же честь.

Числом Млаурнса называется натуральное число, которое при умножении на 7 становится точной 7-ой степенью, при умножении на 8 - точной 8-ой степенью, а при умножении на 9 - точной 9-ой степенью. При умножении же на 10, число Млаурнса 10-ой степенью не становится (подумайте, почему!)

А теперь найдите наименьшее число Млаурнса!

[gris]

$1535...3632$
Всего 454 цифры, так что не уместить, а в показательной форме как-то неудобно выкладывать

[Ktina]

gris
А в повиательной форме разве удобнее?
Фамилия математика - если читать только буквы с чётными номерами, получится Луна, если с нечётными - Марс.

[Booker48]

Ktina в сообщении #1290530 писал(а):

Фамилия математика - если читать только буквы с чётными номерами, получится Луна, если с нечётными - Марс.

(Оффтоп)

Тогда фамилия математика - Млаурнса (по типу Кутта, Вольтерра). Название топика, соответственно - Числа Млаурнсы.

[grizzly]

(Оффтоп)

Booker48 в сообщении #1290537 писал(а):

Название топика, соответственно - Числа Млаурнсы

Это смотря куда ударение падает. Если на последний слог, то не склоняется. Многие, кстати, говорят "модель Вольтерра" (что неправильно), при этом ставя ударение на последний слог, что хотя бы интуитивно оправдывет.

[Booker48]

grizzly

(Оффтоп)

Под ударением - только если он француз какой-нибудь, этот селеномарсианин. Если же Кара-Мурза, Зима или Кваша, то вполне себе склоняется и под ударением.

[grizzly]

Booker48

(Оффтоп)

Это правило распространяется на фамилии иностранцев вообще (фамилии, заканчивающиеся на ударное "-а"). Луномарсиан логично относить к иностранцам, я полагаю. Предлагаю продолжить спор в ЛС, чтобы не нарушать правила, и если придём / не придём к общему мнению, я дополню это сообщение согласованным комментарием -- если потребуется.

Upd. В ЛС Booker48 убедил меня, что случаи бывают разные. Придётся ждать, пока появятся официальные правила склонения марсианских фамилий.

[gris]

Если по французски, то Ламур-сан.
А вообще обидно за прекрасную тему. Свели к каким-то лингвистическим забавам. А ведь редчайший случай, чтобы в ответе задачи с маленькими цифрами и простеньким условием появилось столь огромное число (если я не ошибся. Ноль же не считается?).

[atlakatl]

А как получился такой ответ? МатКад или онлайн какой пакет?
У меня получилось только $9 \cdot a^7=7 \cdot c^9$ и $9 \cdot b^8=8 \cdot c^9$. Но что с этим делать, не представляю.

[rockclimber]

atlakatl в сообщении #1290618 писал(а):

А как получился такой ответ? МатКад или онлайн какой пакет?

Я видел решение, когда оно было записано в другой форме - в виде $7^x \cdot 8^y \cdot 9^z$, $x$, $y$ и $z$, естественно, были конкретными числами. На мой взгляд, не вдаваясь в детали, что это за числа, такой формы записи должно быть достаточно, чтобы догадаться, как решать.

[gris]

Я тупо перебирал в умище Ну тут достаточно просто. Можно сделать предположение о простых множителях искомого числа. И далее небольшой арифмост, столь любимый ТС. Суть в том, что на форуме таких огромных чисел ещё не было!

[atlakatl]

Понял. Все переменные включают в себя - для начала - $7 \cdot 8 \cdot 9$. Ну и тоже число в показателях степени.

[gris]

С основаниями нужно быть осторожным. Например, если бы была одна восьмёрка, то для получения минимальной восьмой степени нужно рассматривать двойку в качестве основания. Ведь $8\cdot 32=2^8$.
Но из-за того, что $8=2^3 \land 3\mid 9$ и $9=3^2 \land 2\mid 8$ можно рассматривать восьмёрку и девятку.

Кстати, я думаю, что по грандиозности только поиск чисел Мерсенна можно поставить вровень с этой Задачей. И названия созвучны.

[kotenok gav]

Задача простейшая! Я её в первом классе решал.

[atlakatl]

Кажется, понял.
$M_1$ это произведение $(7^7 \cdot 2^8 \cdot 3^9)^{7 \cdot 8 \cdot 9} \cdot k$, где k какой-то коэффициент.
Не, что-то думать надо.
Упростим задачу.
Найти $\varphi$, что $2\varphi$ точный квадрат, а $3\varphi$ точный куб. Это $2^3\cdot3^2=72$
$7^a\cdot2^b\cdot3^c$
a делится на 72, а $(a+1)$ - на 7.
Ну так же с b и c. Истина всё ближе.