Лиса, Утка и озеро.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1288811 писал(а):

С малых надо будет двигаться не по касательной, а по перпендикуляру.

Почему это?

[Dmitriy40]

wrest в сообщении #1288813 писал(а):

Почему это?

Потому это:

Dmitriy40 в сообщении #1288811 писал(а):

С малой - это как бы движение вверх по первому Вашему рисунку в теме, а с большой - как бы движение вбок.

Ну или ещё проще: при движении по касательной с малой полуоси утке придётся проплыть почти большую полуось, а при движении по касательной с большой полуоси - почти малую полуось. Лисе же почти одинаково в обоих случаях - почти 3/4 эллипса. А т.к. лиса сильно быстрее утки - последней лучше плыть меньше, т.е. малую получсь, т.е. по касательной с большой (с точки пересечения большой полуоси и самого эллипса, не помню как она называется).

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1288817 писал(а):

при движении по касательной с малой полуоси утке придётся проплыть почти большую полуось, а при движении по касательной с большой полуоси - почти малую полуось. Лисе же почти одинаково в обоих случаях - почти 3/4 эллипса.

Да, точно.

-- 31.01.2018, 13:57 --

Dmitriy40 в сообщении #1288817 писал(а):

(с точки пересечения большой полуоси и самого эллипса, не помню как она называется)

"Вершина эллипса" :)

[Geen]

Dmitriy40 в сообщении #1288806 писал(а):

есть эллипс безопасности

А он есть??

-- 31.01.2018, 14:24 --

Вложение:

ellips.png

Мне вот очень такая картинка нравится

[wrest]

Geen в сообщении #1288836 писал(а):

А он есть?

Ну он точно есть у окружности, а значит и у немножко вытянутых эллипсов, очень похожих на окружности, он тоже есть.

[Geen]

wrest в сообщении #1288842 писал(а):

он тоже есть.

Есть, но вот эллипс ли он... (см. картинку - там полуоси 4, 5 и отношение скоростей 3)

[wrest]

Geen в сообщении #1288844 писал(а):

Есть, но вот эллипс ли он... (см. картинку - там полуоси 4, 5 и отношение скоростей 3)

Поясните что там.
И как будет выглядеть ваша картинка если полуоси 4 и 4,1?

[Dmitriy40]

Плюс при $k \to 1$ фигура безопасности должна плавно переходить в сам берег озера. Во всяком случае для центрально симметричных фигур.
Я вообще подозреваю что фигура безопасности всегда является уменьшенной с коэффициентом $k$ копией берега (рассматриваем только выпуклые озёра), зеркальной относительно центра (а для центрально симметричных фигур это и неважно). Собственно это вроде бы очевидно из требования равенства угловых скоростей.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1288849 писал(а):

Собственно это вроде бы очевидно из требования равенства угловых скоростей.

Да, но понадобится ли нам равенство угловых скоростей...

Dmitriy40 в сообщении #1288849 писал(а):

Во всяком случае для центрально симметричных фигур.

Правильные многоугольники с нечетным количеством сторон не центрально-симметричны :) Треугольник яркий пример, пятиугольник тоже весьма.

[rockclimber]

Dmitriy40 в сообщении #1288849 писал(а):

Собственно это вроде бы очевидно из требования равенства угловых скоростей.

А по-моему, очевидно, что это не так. В то время, как утка может плавать по окружности с постоянной угловой скоростью всегда, когда эта окружность может быть вписана в пруд, лиса вынуждена бегать по периметру с переменной скоростью. Утка может выигрывать в углах. Например, в квадрате со стороной $1$ утка может двигаться по окружности радиуса ${2}/{\pi k}$. Эта окружность будет местами вылезать из квадрата $1/k$.

[wrest]

rockclimber
Сейчас самое время вам реализовать

rockclimber в сообщении #1284342 писал(а):

Давайте на выходных я потрачу пару часов времени и напишу программку, где вы будете управлять уткой, а лиса будет действовать по описанной мной стратегии. Вы ее скачайте и играйтесь на здоровье, как победите - приходите за призом

С треугольными, квадратными, и в виде эллипса с настраиваемым эксцентриситетом озерами.

[rockclimber]

wrest
Сейчас, боюсь, это будет уже не пару часов, хотя с другой стороны, так даже интереснее.

Попробовал решить задачу для квадрата, у меня получилось, что максимальное $k$ (соотношение скоростей лисы и утки) должно быть $(4 \pi + 1)/\pi$. Я прошлые пару страниц не очень внимательно читал, там было решение?

-- 31.01.2018, 16:25 --

Хотя нет, это не максимум. Можно больше, а это оценка снизу.

[wrest]

rockclimber в сообщении #1288859 писал(а):

лиса вынуждена бегать по периметру с переменной скоростью.

Кстати, здравая мысль.

Вместо сжатий/растяжений, возможно можно зайти с другой стороны.
Вот допустим у нас есть эллипс и в центре маяк у которого фиксирована угловая скорость. А с какой линейной скоростью движется зайчик от луча света маяка по берегу? Вернее, чему равно отношение максимальной скорости к минимальной? В случае окружности это единица.

-- 31.01.2018, 15:29 --

rockclimber в сообщении #1288861 писал(а):

Я прошлые пару страниц не очень внимательно читал, там было решение?

Нет, решение пока есть только для окружности, то что в первом посте темы.

[Geen]

Dmitriy40 в сообщении #1288849 писал(а):

Я вообще подозреваю что фигура безопасности всегда является уменьшенной с коэффициентом $k$ копией берега

Тогда я подозреваю, что выигрышный первый ход a2-a3

Вот только игры с конца анализируются...

-- 31.01.2018, 16:02 --

wrest в сообщении #1288847 писал(а):

И как будет выглядеть ваша картинка если полуоси 4 и 4,1?

Используется синтаксис Matlab M

a=5;
b=4;
v=3;
k=sqrt(v^2-1);
f=(0:100)/50*pi;
n=length(f);
xx=a*cos(f);yy=b*sin(f);
x1=reshape([nan(1,n);xx;xx-(a*sin(f)+k*b*cos(f))*k/v^2.*(a/b*sin(f).^2+b/a*cos(f).^2)],1,n*3);
y1=reshape([nan(1,n);yy;yy-(a*k*sin(f)-b*cos(f))*k/v^2.*(a/b*sin(f).^2+b/a*cos(f).^2)],1,n*3);
x2=reshape([nan(1,n);xx;xx+(a*sin(f)-k*b*cos(f))*k/v^2.*(a/b*sin(f).^2+b/a*cos(f).^2)],1,n*3);
y2=reshape([nan(1,n);yy;yy-(a*k*sin(f)+b*cos(f))*k/v^2.*(a/b*sin(f).^2+b/a*cos(f).^2)],1,n*3);
plot(xx,yy,'g',x1,y1,'b',x2,y2,'r');daspect([1 1 1])

По сравнению с приведённой ранее картинкой здесь уточнена длина до точки пересечения.
Если MatLab'а нет, то могу и картинки прицепить

-- 31.01.2018, 16:08 --

Семейство красных линий соответствует бегу лисы против часовой стрелки, синих - по часовой

[wrest]

Geen в сообщении #1288870 писал(а):

Если MatLab'а нет,

Нет, Матлаба нет. Есть геогебра :)