Символы Кристоффеля на сфере(без метрики)

[Ascold]

Задача из книги Шутц, "Геометрические методы мат. физики", упр. 6.4
Глядя на сферу, вижу, что орт $\textbf{e}_\theta$ будет перенесён параллельно при переносе вдоль большой дуги сферы, перпендикулярной этому вектору. Пусть точка M, в кас. плоскости которой он изначально расположен, имеет сферические координаты $(R, \theta,\varphi),$ тогда единичный касательный вектор $\textbf{a}$ большой дуги, проходящей через М перпендикулярно $\textbf{e}_\theta$ , будет в каждой точке иметь координаты $a^\varphi=\sin\theta,$ $a^\theta=\cos\theta.$ Условие

$$\nabla_\textbf{a}\textbf{e}_\theta=0$$

влечёт за собой

$$ \sin\theta\Gamma^\theta_{\theta \varphi}+\cos\theta\Gamma^\theta_{\theta \theta}=0, \qquad(1)$$

$$ \sin\theta\Gamma^\varphi_{\theta \varphi}+\cos\theta\Gamma^\varphi_{\theta \theta}=0. \qquad(2)$$

Кроме того, в силу симметрии сферы перенос $\textbf{a}$ по большой дуге вдоль $\textbf{e}_\theta$ тоже будет параллельным, поэтому

$$\nabla_{\textbf{e}_\theta}\textbf{a}=0$$

даёт уравнения

$$\cos\theta+\sin\theta\Gamma^\varphi_{\theta \varphi}+\cos\theta\Gamma^\varphi_{\theta \theta}=0, \qquad(3)$$

$$-\sin\theta+\sin\theta\Gamma^\theta_{\theta \varphi}+\cos\theta\Gamma^\theta_{\theta \theta}=0, \qquad(4)$$

и тут я вижу какую-то ошибку: если выразить из первого уравнения

$$ \sin\theta\Gamma^\theta_{\theta \varphi}=-\cos\theta\Gamma^\theta_{\theta \theta} $$

и подставить в четвёртое, то будет $-\sin\theta=0$, а если проделать то же с вторым и третьим уравнениями, то получится $\cos\theta=0$. Буду признателен, если кто укажет на ошибку.

[svv]

Ascold в сообщении #1288149 писал(а):

орт $\textbf{e}_\theta$ будет перенесён параллельно при переносе вдоль большой дуги сферы, перпендикулярной этому вектору

Я это понял так: вектор, полученный параллельным переносом $\textbf{e}_\theta(M)$ вдоль большой дуги из точки $M$ в точку $P$, совпадает с $\textbf{e}_\theta(P)$.

Нет, это неверно. Будет примерно как на картинке. Красным цветом показаны векторы, полученные переносом $\textbf{e}_\theta(M)$, а чёрным — «реальные» $\textbf{e}_\theta$.

(Оффтоп)

Направления векторов на картинке выбраны исходя из того, что $\theta$ равно географической широте и увеличивается к северу. В противном случае направления надо изменить на противоположные. Длина вообще выбрана произвольно, чтобы хорошо смотрелось.

Они совпадают только в точке $M$ (ну, и в противоположной ей точке большой дуги).

[Ascold]

svv в сообщении #1288159 писал(а):

Нет, это неверно. Будет примерно как на картинке.
Они совпадают только в точке $M$ (ну, и в противоположной ей точке большой дуги).

Ясно. Но тогда получается странная вещь, связанная с определением параллельного переноса: Вектор $\textbf{e}_\theta$ изначально определён в каждой точке сферы и мы тогда знаем, как его "правильно" переносить.
Шутц пишет, что "на дифференцируемых многообразиях нет само собой разумеющегося понятия параллельности векторов в разных точках". Но как это тогда согласуется с теоремой о том, что всякое многообразие можно вложить в эвклидово множество большей размерности(и там уже определить параллельность однозначно)?
Собственно эту мысль я и развил, не посмотрев, что поле векторов $\textbf{e}_\theta$ предзаданно(тогда, наверное, надо переносить $\textbf{e}_\theta$ не вдоль большой дуги, а вдоль параллели $\theta=const$ или вдоль исходного меридиана $\phi=const.$)

[epros]

Ascold в сообщении #1288272 писал(а):

Вектор $\textbf{e}_\theta$ изначально определён в каждой точке сферы и мы тогда знаем, как его "правильно" переносить.

Это две несвязанные вещи.

Ascold в сообщении #1288272 писал(а):

всякое многообразие можно вложить в эвклидово множество большей размерности(и там уже определить параллельность однозначно)?

Метрическое многообразие. И слово "вложить" подразумевает сохранение расстояний.

[Ascold]

Тогда не пойму... Я изначально предполагал параллельный перенос, глядя на движение $\testbf{e}_\theta$ "извне". Мне $\textbf{svv}$ указал, что это неверно, поскольку в таком случае в соседней точке "перенесённый" $\testbf{e}_\theta$ не совпадёт с исходно там находящимся. Из этого я делаю вывод, что параллельность переноса обуславливается тем, что мне заранее известно, как в новой точке должен выглядеть этот вектор в силу его изначальной заданности. Однако $ \textbf{epros}$ пишет, что

Цитата:

Это две несвязанные вещи.

Тогда возникает вопрос - как сформулировать перенос какого-либо вектора на сфере, если он просто есть в одной точке, а не является полем в касательном расслоении на всей сфере и метрика ещё не введена?

[Pphantom]

Ascold, не надо $\textbf{так}$ набирать ники собеседников, вполне достаточно щелкнуть мышью на нике рядом с сообщением.

[svv]

Ascold в сообщении #1288652 писал(а):

Тогда возникает вопрос - как сформулировать перенос какого-либо вектора на сфере, если он просто есть в одной точке, а не является полем в касательном расслоении на всей сфере и метрика ещё не введена?

Но в нашей задаче метрика как раз введена. Без неё ни задача, ни указание Шутца максимально использовать симметрию сферы, ни его решение, опирающееся, в том числе, на понятие длины векторов, ни даже употребление термина «сфера» не имеют смысла.

Написал ответ на пред-предыдущее Ваше сообщение, но отправить не успел, помещаю в оффтопик.

(Оффтоп)

Ascold в сообщении #1288272 писал(а):

Вектор $\textbf{e}_\theta$ изначально определён в каждой точке сферы и мы тогда знаем, как его "правильно" переносить.

Присоединяюсь к ответу epros. Мы можем задать на многообразии много разных векторных полей, и ни одно из них само по себе не задаёт способ параллельного переноса.

Возможно, Вы считаете, что параллельный перенос на многообразии задаётся некоторым векторным полем? Тогда лучше сразу «выбить почву из-под ног» и сказать, что нет такого векторного поля $\mathbf u$ на сфере (кроме нулевого), что, перенося параллельно вектор $\mathbf u(A)$ из точки $A$ в точку $B$, мы всегда будем получать $\mathbf u(B)$. Даже если ограничиться переносом вдоль дуг большого круга, ситуация не изменится.

Ascold в сообщении #1288272 писал(а):

Но как это тогда согласуется с теоремой о том, что всякое многообразие можно вложить в эвклидово множество большей размерности(и там уже определить параллельность однозначно)?

Задан ли на многообразии $M$ метрический тензор ещё до гладкого вложения в евклидово пространство?

Если да, тогда можно потребовать, чтобы вложение было изометрическим, а можно и вовсе обойтись без вложения, построив единственную согласованную с метрикой симметричную связность — что и определит способ параллельного переноса.

Если метрики нет, тогда в зависимости от вложения Вы будете получать на $M$ разные метрики, индуцированные метрикой евклидова пространства, и, как следствие, различные связности.

Ascold в сообщении #1288272 писал(а):

Собственно эту мысль я и развил, не посмотрев, что поле векторов $\textbf{e}_\theta$ предзаданно(тогда, наверное, надо переносить $\textbf{e}_\theta$ не вдоль большой дуги, а вдоль параллели $\theta=const$ или вдоль исходного меридиана $\phi=const.$)

Пусть в окрестности точки $P$ задано векторное поле $\mathbf u$. Ковариантная производная $\nabla_{\mathbf v} \mathbf u$ в точке $P$ зависит только от значения $\mathbf v$ в точке $P$. Если касательные векторы $\mathbf v_1=\frac d{d\lambda_1}$ и $\mathbf v_2=\frac d{d\lambda_2}$ двух различных кривых, проходящих через $P$, совпадают в этой точке (например, параллель и касательная к ней в $P$ дуга большого круга), ковариантные производные $\nabla_{\mathbf v_1}\mathbf u$ и $\nabla_{\mathbf v_2}\mathbf u$ также совпадут в $P$.

[Ascold]

svv в сообщении #1288663 писал(а):

Если да, тогда можно потребовать, чтобы вложение было изометрическим, а можно и вовсе обойтись без вложения, построив единственную согласованную с метрикой симметричную связность — что и определит способ параллельного переноса.

Если метрики нет, тогда в зависимости от вложения Вы будете получать на $M$ разные метрики, индуцированные метрикой евклидова пространства, и, как следствие, различные связности.

Что такое изометрическое вложение?
Различные связности связаны с разными возможными координатными системами на сфере?

(Оффтоп)

Благодарю за наводку про решения задач в конце книги - уже две недели читаю, и думал, что решений у Шутца не прилагается.

[svv]

Ascold в сообщении #1288671 писал(а):

Что такое изометрическое вложение?

Вложение, сохраняющее длину кривых (а также скалярное произведение касательных векторов, относящихся к одной точке, их длины, углы между векторами). О нём имеет смысл говорить, когда на многообразии уже задана метрика.

Ascold в сообщении #1288671 писал(а):

Различные связности связаны с разными возможными координатными системами на сфере?

Нет. Возьмём многообразие $M$, рассмотрим кривую $\gamma$, соединяющую точки $A$ и $B$. В касательном пространстве точки $A$ (обозначается $T_AM$) выберем вектор $\mathbf u$. Если задана связность, имеет смысл говорить о параллельном переносе $\mathbf u$ вдоль $\gamma$ в точку $B$. Результат параллельного переноса совпадёт с каким-то вектором $\mathbf v$ из касательного пространства точки $B$ (обозначается $T_B M$). Но с каким именно — зависит от связности.

Задать связность — это значит для любых точек $A, B$ многообразия $M$ и для любой соединяющей их кривой $\gamma$ указать правило, сопоставляющее касательному вектору $\mathbf u$ из $T_A M$ касательный вектор $\mathbf v$ из $T_B M$.

Сфера — подмногообразие трёхмерного евклидова пространства. Это даёт возможность определить на ней параллельный перенос векторов следующим образом. Возьмём на сфере точки $A, B$, соединим их кривой $\gamma$, лежащей на сфере. Возьмём в точке $A$ некоторый вектор $\mathbf u$, касательный к сфере, и перенесём его параллельно вдоль $\gamma$ в точку $B$ по правилам параллельного переноса евклидова пространства (в декартовых координатах это означает постоянство всех компонент вектора при переносе, а следовательно, неизменность длины и направления). Проблема в том, что в точке $B$ мы получим вектор, который не будет касательным к сфере.

Раз так, модифицируем перенос следующим образом. Пусть $\lambda$ — параметр кривой $\gamma$, причём $\gamma(0)=A$. Возьмём в каждой точке кривой такой касательный к сфере вектор $\mathbf v(\lambda)$, чтобы $\mathbf v(0)$ совпадал с $\mathbf u$, а вектор производной $D_{\frac d{d\lambda}}\mathbf v(\lambda)$ был всюду перпендикулярен к сфере. Здесь $D$ — операция ковариантного дифференцирования в евклидовом пространстве; она определена, и мы на неё опираемся. Образно говоря, будем при переносе всё время так «пригибать» вектор к сфере, чтобы он оставался к ней касательным.

Upd: изменил обозначение ковариантной производной в евклидовом пространстве на $D$.

[epros]

svv, извиняюсь, если где-то повторю Ваше объяснение. Хочу попытаться выразиться попроще.

Ascold в сообщении #1288652 писал(а):

как сформулировать перенос какого-либо вектора на сфере

В общем случае определить параллельный перенос можно любым способом. Если есть две соседние точки, то определение параллельного переноса между ними (по прямой) означает, что каждому вектору в одной точке мы "как-то" ставим в соответствие вектор в другой точке.

Но когда Вы добавляете "на сфере", то автоматически подразумеваете метрическое пространство, в котором понятие параллельного переноса "согласовано с метрикой".

Ascold в сообщении #1288671 писал(а):

Различные связности связаны с разными возможными координатными системами на сфере?

Нет. Обратите внимание, что всё сказаное выше никак не зависит от того, каким образом определены координаты.

Определить связность - это то же самое, что определить параллельный перенос. Согласованая с метрикой связность - это когда длина вектора (а метрика определяет именно длины векторов) не меняется при параллельном переносе.

Метрика сферы определяется тем, что она вложена (как было правильно сказано - "изометрически") в трёхмерное евклидово пространство. Т.е. расстояния по линии на сфере равны расстояниям по той же линии в трёхмерном пространстве.

Зная метрику для сферы (и наложив дополнительное условие, что связность должна быть "симметричной"), можно найти согласованную с метрикой связность, т.е. определить параллельный перенос на сфере.

-- Ср янв 31, 2018 12:40:38 --

Кстати, svv, картинка с картой кажется не очень удачной. Похоже, что там вектор переносится по большой окружности. При этом, как известно, если он изначально был ортогонален линии переноса, то таковым и останется. Чтобы продемонстрировать, что направленный по меридиану вектор после переноса вдоль параллели перестаёт быть направленным по меридиану, параллель желательно выбирать подальше от экватора.

[svv]

epros в сообщении #1288773 писал(а):

извиняюсь, если где-то повторю Ваше объяснение

Ничего страшного, повторение — мать учения. К тому же, каждый участник излагает со своей точки зрения, в целом получается более объёмная картина. Мне тоже интересно читать Ваши комментарии.
С глобусом, согласен, хорошо было бы взять широту побольше. Но я боялся, что для большого круга, который расположен не в горизонтальной плоскости, на картинке будет не так очевидно сохранение ортогональности между переносимым вектором и дугой. Идеально подошёл бы глобус с большим наклоном оси, но они все стандартные, поэтому исходная точка обречена на широту тропика 23,5°.

[svv]

Мы достаточно близко подошли к решению задачи.

[Ascold]

Перенос вдоль меридиана тривиален и даёт соотв. нулевые символы Кристоффеля, а вдоль параллели - глянул я-таки решение Шутца. Есть неясности.
1. Паралл. перенос определён как неизменяемость длины и сохранение касательности вектора. Правильно я понимаю, что большая дуга, касающаяся параллели в точке P введена потому, что параллельный перенос был изначально определён именно влоль большой дуги(для $\textbf{e}_\theta$ это меридиан)?
2. Уравнение этой большой дуги в полярных координатах что-то получается другое: раз её плоскость проходит через точку P параллели $\theta=\theta_0,$ то для неё легко видеть $x=z\tg\theta_0.$ Подставляю в ур-е окружности это и $y=\sin\theta\sin\varphi,$ упрощаю, получаю

$$\cos^2\theta=\cos^2\theta_0(1-\sin^2\theta\sin^2\varphi),$$

а не

$$\sin^2\theta=\sin^2\theta_0(1-\cos^2\theta_0\sin^2\varphi),$$

как у Шутца. Даже если угол $\varphi$ откладывать от оси $y$, а не $x$, всё равно это не получается.
3. Шутц далее пишет:

Цитата:

Считая $\varphi$ параметром, находим касательный вектор $(d\theta/d\varphi,1)=$...

Не до конца понимаю, почему "тэтовая" компонента вектора $V$ равна производной именно по $\varphi$: параметр $\varphi$ параметризует параллель, а не большую дугу. Или именно на этот счёт двумя строками ниже сказано "с точностью до первого порядка"?

[epros]

Ascold в сообщении #1289565 писал(а):

1. Паралл. перенос определён как неизменяемость длины и сохранение касательности вектора.

Неизменяемость длины - это упомянутая выше согласованность с метрикой. Сохранение касательности пространству вообще не является чем-то новым, ибо рассматриваются обычно только касательные вектора и никакие иные.

Но этих двух условий недостаточно. Нужно ещё потребовать симметричности связности. Если связность согласована с метрикой и симметрична, то при переносе вектора вдоль прямой (геодезической) его угол относительно этой прямой сохраняется.

Ascold в сообщении #1289565 писал(а):

Правильно я понимаю, что большая дуга, касающаяся параллели в точке P введена потому, что параллельный перенос был изначально определён именно влоль большой дуги

На сфере дуга большой окружности является геодезической, т.е. линией минимального расстояния между точками. Поэтому при переносе вдоль неё угол вектора по отношению к ней не меняется. Если же линия отклоняется от геодезической (т.е. является кривой), то при переносе вдоль неё вектор соответствующим образом поворачивается относительно линии переноса.

[svv]

Ascold в сообщении #1289565 писал(а):

2. Уравнение этой большой дуги в полярных координатах что-то получается другое

Проверьте, не отсчитывает ли Шутц (кстати, вот он, если что, можно ему написать и даже позвонить ) угол $\theta$ от экватора, как в географии. Такое определение тоже иногда используется, и, в принципе, так делать даже симпатичнее — система координат получается более симметричной. При этом как раз синусы и косинусы поменяются местами.

Ascold в сообщении #1289565 писал(а):

Не до конца понимаю, почему "тэтовая" компонента вектора $V$ равна производной именно по $\varphi$: параметр $\varphi$ параметризует параллель, а не большую дугу. Или именно на этот счёт двумя строками ниже сказано "с точностью до первого порядка"?

В виде $\theta=f(t),\; \varphi=t$, или просто $\theta=f(\varphi)$, можно задать не только параллель, но и множество других кривых.

epros в сообщении #1289690 писал(а):

Сохранение касательности пространству вообще не является чем-то новым, ибо рассматриваются обычно только касательные вектора и никакие иные.

Не имел ли Ascold в виду сохранение касательности вектора к дуге кривой, по которой осуществляется перенос (конечно, если таковая имела место для исходного вектора)? Но после всего сказанного должно быть понятно, что, например, вектор $\mathbf e_\varphi$, переносимый вдоль параллели, не будет оставаться к ней касательным.