Дифференциал определителя метрического тензора

[misha.physics]

Здравствуйте.
В ЛЛ2 есть формула для дифференциала от определителя метрического тензора:
$dg=gg^{ik}dg_{ik}$.
Как получили формулу понятно.
Далее получаем, что:
$dg=-gg_{ik}dg^{ik}$.
Использовали $g_{ik}g^{ik}=4=const$. Это тоже понятно.

Вопрос: а почему нельзя рассуждать так: получить $dg$ изначально рассматривая определитель матрицы $||g^{ik}||$. Тогда говоря всё то же самое (о минорах и обратном метрическом тензоре) написали бы $dg=gg_{ik}dg^{ik}$, т. е. без знака минус. Где здесь ошибка? Получается, что $g_{ik}$ и $g^{ik}$ в етом смысле как бы не равноправны?

[svv]

А здесь нету ошибки. Просто Вы выразили $dg$ через $dg^{ik}$, а по контексту требуется $dg_{ik}$ (потому что производные в (86.3) берутся от $g_{ik}$, а не $g^{ik}$).

[misha.physics]

svv, спасибо, но пока непонятно.
Получаются две одинаковые формулы, отличающиеся только знаком:
$dg=-gg_{ik}dg^{ik}$
и
$dg=gg_{ik}dg^{ik}$
Как это согласовать?

[svv]

Извините, я невнимательно прочитал. Правильные формулы только
$dg=gg^{ik}dg_{ik}$ и
$dg=-gg_{ik}dg^{ik}$,
но не эта:

misha.physics в сообщении #1288131 писал(а):

$dg=gg_{ik}dg^{ik}$

Если Вы повторите все рассуждения для $g^{ik}$, то у Вас и вместо $g=\det g_{ik}$ будет $\det g^{ik}=g^{-1}$, и в левой части будет $d(\det g^{ik})$.

Для полной ясности и симметрии давайте обозначим контравариантные компоненты метрического тензора $h^{ik}$, а составленный из них определитель $h=\det h^{ik}$. Справедливы следующие формулы:
$\begin{array}{l}dg=gh^{ik}dg_{ik}=-gg_{ik}dh^{ik}\\dh=hg_{ik}dh^{ik}=-hh^{ik}dg_{ik}\\gh=1\\hdg+gdh=0\\g_{ik}h^{ik}=4\\h^{ik}dg_{ik}+g_{ik}dh^{ik}=0\end{array}$

[misha.physics]

svv, ага, всё дело в том, что:
$det||g^{ik}}||=\frac{1}{det||g_{ik}||}$.
Спасибо, отлично объяснили.
Я наверное сразу подумал, про галилеев метрический тензор, где определители одинаковы
Но там будет $dg=dh=0$, в ваших обозначениях. Все хорошо.

Теперь симметрия на лицо.
Просто магия получается...