Виртуальные частицы и основное состояние полей

[ivanovalex]

В квантовой теории поля для решения задач, связанных со взаимодействием частиц, используют теорию возмущений, последовательно считая поправки к интересующей величине. Члены такого разложения представляют собой бесконечный ряд диаграмм Фейнмана, каждая из которых вносит свой вклад в результат процесса (и чем выше порядок, тем меньше вклад). При этом, внутренние линии на диаграммах отвечают так называемым «виртуальным частицам» - элементам диаграммы, лежащим вне массовой поверхности (в отличие от реальных частиц, между которыми происходит взаимодействие).

То есть, виртуальные частицы это удобный способ описать взаимодействие в КТП, при этом в разных теориях возмущений виртуальные частицы разные, а для некоторых моделей есть методы, в которых виртуальные частицы не фигурируют никак. То есть эта чисто эвристическая картинка с возникающими и сразу исчезающими частицами не что иное, как удобный метод математического описания взаимодействия реальных частиц. Тут недопонимания не возникает.

С другой стороны, если рассмотреть любое квантовое поле в вакуумном состоянии, то можно обнаружить, что оно размазано по значениям поля, т.е. всегда есть вероятность померить в вакууме ненулевое поле. Это следует из двух соотношений неопределенностей квантовой механики: между координатой и импульсом и между временем и энергией. В квантовом вакууме для любого короткого интервала времени существует вероятность измерить ненулевую энергию.

И вот тут возникает недопонимание, связанное, в частности, с вакуумным состоянием полей заряженных частиц (пусть будет электрон-позитронное поле). Это поле опять таки размазано по значениям, и, допустим, в какой то области у него возникла ненулевая энергия – что она представляет собой? Основные колебания поля без частиц (даже виртуальных)? Поле заряженных частиц в вакуумном состоянии имеет нулевой заряд, значит, его колебания тоже должны иметь нулевой заряд? Но как тогда объяснить некоторые эффекты в КЭД, например, рассеяние фотона на фотоне?

[Pulseofmalstrem]

Тут важно понимать, что, например, вакуум свободного поля не совпадает с вакуумом теории с взаимодействием. Например, в КЭД вакуум состояние вообще говоря отличное от вакуума электронного поля, это связано с тем, что вакуум свободной теории - это состояние которое разрушается операторами смерти, по которым это самое поле обычно успешное раскладывается (примерно, как в классике поля раскладываются по плоским волнам с помощью преобразования Фурье). Однако в случае с теорией вроде КЭД, в которой есть взаимодействие, все становится сложнее и состояние с минимальной энергией будет отлично от обычного вакуума. Можно показать, что в случае когда теория возмущений вообще применима (малые возбуждения) основное состояние взаимодействующей теории получается из вакуума свободной теории спустя достаточное количество времени.
Собственно вся суть теории возмущений в простых словах состоит в том, чтобы свести все необходимые вычисления в теории с взаимодействием к вычислениям с объектами из свободной теории (то есть к вакууму свободной теории и операторам рождения, смерти), так как мы знаем как с ними работать, в то время как непонятно, что делать с уравнениями теории взаимодействующих полей. В качестве простейшего примера можно привести теорию $\phi^4$, в которой лагранжиан пишется так: $L = \frac{1}{2}\partial_{\mu}\partial^{\mu}\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4$, видно что у нас есть свободная теория с обычным лагранжианом:$L = \frac{1}{2}\partial_{\mu}\partial^{\mu}\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2$, в которой мы можем явно выписать гамильтонову функцию и найти нужный спектр, получим как обычно квантовые частицы, однако в этой теории нет взаимодействия: эти квантовые частицы не могут рассеиваться друг на друге, они вообще не чувствуют друг друга. Это вообще говоря всегда справедливо: в свободных теориях нет взаимодействия между частицами, нет рассеяния в частности частиц друг на друге, чтобы добавить эти эффекты надо дописать новое слагаемые, которое в моем примере есть не что иное, как: $\frac{\lambda}{4!}\phi^4$, именно это слагаемое дает возможность частицам чувствовать друг друга.
Сравните с классической электродинамикой: в отсутствии зарядов электромагнитные волны по принципу суперпозиции вообще не влияют друг друге, не рассеиваются друг на друге и так далее. Переводя на квантовый язык фотоны на фотонах не рассеиваются, если рассматривать фотоны без электронного поля, а вот если добавить заряды: тогда да, уже начинаются чудеса, однако как только мы добавили заряды мы изменили теорию, у нас теперь другой вакуум, другие уравнения, которые очень сложно решить, а потому мы вынуждены прибегать к теории возмущений.

[ivanovalex]

Pulseofmalstrem в сообщении #1283775 писал(а):

Тут важно понимать, что, например, вакуум свободного поля не совпадает с вакуумом теории с взаимодействием.

Я это понимаю, но вот что важно. В любой квантовой теории поля, даже свободной (т.е. болтаются невзаимодействующие частицы) поля, вообще говоря, не принимают какого-то определенного значения. Даже если рассмотреть вакуумное состояние, оно оказывается "размазанным" по значениям поля. Т.е. всегда есть вероятность померить в вакууме ненулевое поле. Это касается и свободного электрон-позитронного поля, не так ли? И так, есть электрон-позитронное поле в основном состоянии и с размазанными значениями физических величин (например, энергии). Померили в поле ненулевую энергию: что это? Заряженные виртуальные частицы электрон-позитрон? Колебания самого электрон-позитронного поля (флуктуации около нуля), имеющие нулевой заряд?

Pulseofmalstrem в сообщении #1283775 писал(а):

Однако в случае с теорией вроде КЭД, в которой есть взаимодействие, все становится сложнее и состояние с минимальной энергией будет отлично от обычного вакуума.

Те же самые вопросы, касаемо теории с взаимодействием. У нас нету частиц, но есть основное состояние электрон-позитронного поля. Что представляют собой флуктуации этого поля?

[Pulseofmalstrem]

ivanovalex
Не знаю насколько Вас устроит такой ответ, однако все же дерзну его изложить: обратимся к диаграммам Фейнмана (в координатном варианте так проще): как известно всякая диаграмма состоит из внешних точек, пропагаторов (это линии между вершинами) и внутренних вершин. Собственно, ответом на ваш вопрос являются диаграммы Фейнмана без внешних вершин, их еще называют вакуумными пузырями. Как и обычно, их можно интерпретировать как процессы рождения и смерти частиц в каждой точке, собственно поле в вакуумном состоянии это множество таких "пузырей".
Данный подход универсален, до изучения диаграмм в КЭД я пока не дорос (думаю в скорости к ним перейти) так что ничего конкретного тут не скажу, кроме отмазки про рождение и смерть пар электрон-позитрон.

P.S. Тут еще такой момент: у квантового электрон-позитронного поля есть классический предок: обычное классическое поле в духе электромагнитного (на самом деле не совсем, но это уже тонкости завязанные на способы пересчета из одной системы в другую, которые однако имеют фундаментальные следствия), данное поле подчиняется волновому уравнению Дирака и в нем есть волны! То есть КТП предлагает вообще новый взгляд на мир: вообще электроны, позитроны - есть возбуждения электрон-позитронного поля. В классической теории никаких частиц нет, есть только волны. Однако в квантованной теории уже есть частицы, однако не в классическом понимании частицы как точечного объекта, а в квантовом: как некоторой дискретной сущности, у которой есть энергия и импульс, связанные правильной формулой из СТО. Эти частицы могут быть не локализованы в пространстве (например, то что получается из вакуума под действием оператора рождения имеет определенный импульс, а стало быть неопределенную координату, а то что получается под действием оператора поля в точке $x$ имеет определенную координату, а импульс там не определен (что логично, ибо легко видеть что оператор поля раскладывается в интеграл Фурье, в котором операторы рождения и смерти для каждой моды играют роль операторных коэффициентов, то есть оператор поля как бы рождает суперпозицию разных импульсов, прям как представление состояния с определенной координатой в обычной квантовой механике).

[Gickle]

Как по мне, в теме было написано очень много слов, но неприлично мало математики. Вот почти наугад взял предложение:

ivanovalex в сообщении #1283780 писал(а):

Даже если рассмотреть вакуумное состояние, оно оказывается "размазанным" по значениям поля.

Вы можете его записать на нормальном языке математики?

[ivanovalex]

Pulseofmalstrem в сообщении #1283805 писал(а):

Собственно, ответом на ваш вопрос являются диаграммы Фейнмана без внешних вершин, их еще называют вакуумными пузырями.

Что-то в этом роде?

Pulseofmalstrem в сообщении #1283805 писал(а):

Однако в квантованной теории уже есть частицы, однако не в классическом понимании частицы как точечного объекта, а в квантовом: как некоторой дискретной сущности, у которой есть энергия и импульс, связанные правильной формулой из СТО.

Но это никак не поясняет, что из себя представляет основное состояние электрон-позитронного поля.

Gickle в сообщении #1283815 писал(а):

Вы можете его записать на нормальном языке математики?

Нет, не дошел еще до формул.

[Pulseofmalstrem]

ivanovalex
Как это не повляет? А как выглядит основное состояние обычного квантового одномерного осцилятора? Тут уже стоит формулы выписать? А как выглядит состляние частицы с определенным имрульсом а с определенной координатой?

[ivanovalex]

Pulseofmalstrem в сообщении #1283817 писал(а):

А как выглядит основное состояние обычного квантового одномерного осцилятора?

Это состояние с нулевым средним значением энергии, стационарное, то есть в этом состоянии нету частиц, в том числе виртуальных.

Pulseofmalstrem в сообщении #1283817 писал(а):

А как выглядит состляние частицы с определенным имрульсом а с определенной координатой?

Но как может поле сидеть точно в минимуме с определенным нулевым импульсом и определенной нулевой координатой? Не противоречит ли это принципу неопределенности?

[Pulseofmalstrem]

ivanovalex
Вопросы были в обычном квантовомеханическом смысле. Без понимания КМ нет смысла говорить о КТП

[ivanovalex]

Pulseofmalstrem в сообщении #1283823 писал(а):

Вопросы были в обычном квантовомеханическом смысле.

В обычном квантовомеханическом смысле поле может иметь определенную импульс и координату? Я еще далеко до КМ (не говоря про КТП), но, насколько я помню, чем точнее определена координата, тем неопределеннее импульс и наоборот. Может я что то не так понял?

[Gickle]

ivanovalex в сообщении #1283816 писал(а):

Нет, не дошел еще до формул.

Тогда это пустой трёп всё, если честно. И вообще, не обижайтесь, но большая часть того, что прозвучало в теме, - случайный набор терминов. Лучше всё-таки начните систематически изучать предмет, если хотите разобраться, - тут на форуме многократно литературу соответствующую советовали.

[ivanovalex]

Gickle в сообщении #1283831 писал(а):

И вообще, не обижайтесь, но большая часть того, что прозвучало в теме, - случайный набор терминов.

Вполне возможно. Если вас не затруднит, можете указать, где именно ошибки?

[Pulseofmalstrem]

ivanovalex
В КМ нет квантовых полей, там только частицы. Как в обычной механике нет классических полей, а есть материальные точки. Без понимание КМ нет смысла даже говорить о КТП и вопрошать о ней, так как вы неизбежно будете вкладывать в ответы ложный смысл, ибо вот я говорю состояние поля, в котором есть определенный импульс, что я имею ввиду, вот это:
$Пусть \left\lvert 0 \right\rangle$ - состояние поля, которое называется вакуум. Пусть $a_p, a^{\dagger}_p$ - операторы рождения и смерти частицы с импульсом $p$. Тогда вакуум это состояние которое для всех импульсов $p$ умирает от действия оператора смерти: $\forall p a_p \left\lvert 0 \right\rangle = 0$. А что такое состояние с импульсом $p$? Это вот что: $a^{\dagger}_p \left\lvert 0 \right\rangle$, а что такое состояние с частицей в точке $x$? Это вот что:
$\phi(x) \left\lvert 0 \right\rangle$, где $\phi(x)$ - оператор поля в данной точке. А почему мы это называем частицей, почему в первом случае мы уверены, что это именно состояние с одной частицей у которой строго определен импульс, а во втором мы говорим - это частица в данной точке? Ответить на эти вопросы не так просто, если не знать КМ и классическую теорию поля, но так как вам явно интересен ответ на данный вопрос я приведу как можно более полный ответ, в котором постараюсь изложить все понятия весьма подробно на самом простом примере: скалярном поле Клейна-Гордона. Я сразу буду выписывать уравнения, не выводя их, если вас это заинтересует то я отошлю к нужным учебникам, где это хорошо изложено.

1. Классическое скалярного поле Клейна-Гордона. Все формулы приведены в системе $\hbar = c = 1$
Данное поле определяется заданием ровно одного числа (потому и скалярное) в каждой точке пространства в каждый момент времени. Это одно из самых простых полей (куда проще электромагнитного). Его уравнения пишется так:
$\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \Delta \phi + m^2 \phi = 0$
Для решения этого уравнения следует воспользоваться преобразованием Фурье (потому что производная по координатам заменится на обычное умножение на параметр $p$ фурье-преобразования и мы получим легкие уравнения для каждой моды (каждого значения параметра $p$)), в итоге получим
$\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} + (|p|^2 + m^2)\phi = 0$
А это уже просто решить, можно в этом увидеть уравнение движения для обычного осциллятора с частотой $\omega^2 = |p|^2 + m^2$
Ответ сразу можно выписать:
$\phi(x, y, z, t) = \sum\limits_{\omega^2 = p^2 + m^2}^{}(A(p) \sin(\omega t - p_x x - p_y y - p_z z)+ \\ + B(p) \cos (\omega t - p_x x - p_y y - p_z z)$
Это несколько неформальное выражение, надо конечно писать интеграл, да и лоску придать с помощью 4-векторов, но суть не этом. Суть в том, что мы просто записали сумму колебаний множества гармонических осцилляторов по одному на каждую моду.

Отметим особо вот это выражение:
$\omega^2 = p^2 + m^2$ - оно до боли напоминает, соотношение между энергией, импульсом и массой из СТО для точечной частицы, в КТП это приобретает точный смысл. Но как?

Ответ кроется в том, чтобы представить себе каждый из этих гармонических осцилляторов, как квантовый осциллятор: как квантовать осциллятор можно почитать в учебнике КМ. Если будет желание - могу написать коротко о том, как в КМ все утроено. А про классические поля хорошо написано у Рубакова в его книжке классические калибровочные поля, там есть смысл почитать первые несколько страничек про поле Клейна-Гордона.

[ivanovalex]

Правильно ли я понимаю, что основное состояние в квантовой механике описывается при помощи квантового гармонического осциллятора, а в квантовой теории поля - через виртуальные частицы?

[Gickle]

ivanovalex в сообщении #1283833 писал(а):

Вполне возможно. Если вас не затруднит, можете указать, где именно ошибки?

Нет, это просто смысла не имеет, как по мне. Вот это, например,

ivanovalex в сообщении #1283839 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что основное состояние в квантовой механике описывается при помощи квантового гармонического осциллятора, а в квантовой теории поля - через виртуальные частицы?

просто бессмысленный набор слов. Ещё раз повторюсь, если хотите что-то понять в предмете, начните его систематическое изучение, а не задавайте один бессмысленный вопрос за другим.

Впрочем, это моё мнение, конечно. Тут явно есть более отзывчивые люди, а я, пожалуй, за сим откланяюсь.