Олимпиадная задачка для 9 класса.

[yan01]

Всем добрый вечер!

Решил я тут попробовать решить задачи Турнира Городов за 9 класс и на первой же застопорился.
Привожу текст задачи и варианты решения (скажу сразу, они сложны для понимания, но на большее я, видимо, не способен).


Имеется 5 ненулевых чисел. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что пять сумм положительны и пять отрицательны. Сколько произведений положительны и сколько — отрицательны?

Вариант решения:

Условие: есть числа a, b, c, d, e, при этом каждое из них не равно нулю.
С любыми двумя (без повторов) сформировано 10 сумм и произведений


Известно, что любые 5 сумм больше нуля, оставшиеся — меньше нуля. Получается 252 комбинации. Пусть суммы

$$ s_1, s_2, s_3, s_4, s_5 $$

— больше нуля;

$$ s_6, s_7,s_8, s_9, s_{10} $$

— меньше нуля.
Получаем следующее:

$ s_1 > 0 \to x_n + y_n > 0 $

$ s_2 > 0 \to x_{n+1} + y_{n+1} > 0 $

$ s_3 > 0 \to x_{n+2} + y_{n+2} > 0 $

$ s_4 > 0 \to x_{n+3} + y_{n+3} > 0 $

$ s_5 > 0 \to x_{n+4} + y_{n+4} > 0 $

$ s_6 < 0 \to x_{n+5} + y_{n+5} < 0 $

$ s_7 < 0 \to x_{n+6} + y_{n+6} < 0 $

$ s_8 < 0 \to x_{n+7} + y_{n+7} < 0 $

$ s_9 < 0 \to x_{n+8} + y_{n+8} < 0 $

$ s_10 < 0 \to x_{n+9} + y_{n+9} < 0 $

И тут я застопориваюсь на том, что ведь между этими игреками и иксами есть какая-то взаимосвязь. Ведь суммы-то не между произвольными неравными числами, а между повторяющимися. И ведь вроде понимаешь, что какие-то четыре числа повторяются, т. е. между собой равны и их можно заменить на одно, но, поскольку вариантов этих замен очень много (например, можно заменить все $ y_{n+1}, y_{n+2}, x_{n+3}, y_{n+7} $ на $ y_{n+2} $, к примеру; но в таком случае можно ведь взять и не только эти числа). Нужно в первую очередь доказать, что такие замены действительно равноправны и не изменят конечный результат.

[Shadow]

yan01,как-то сложно пошли. Подумайте, может ли среди чисел быть ровно одно положительное?
А ровно одно отрицательное?

[yan01]

Shadow в сообщении #1281810 писал(а):

yan01,как-то сложно пошли. Подумайте, может ли среди чисел быть ровно одно положительное?
А ровно одно отрицательное?

А можно без подбора?

[Shadow]

можно

-- 06.01.2018, 22:01 --

Подойдем с другой стороны. Если среди $x+y$ чисел $x$ - положительные и $y$ - отрицательные, то среди попарных произведений всех чисел сколько будут отрицателцные?

[ludwig51]

yan01
Эта задача для 9 класса, скорее всего на сообразительность, и не должна быть сложной.
В левой части вшей таблицы 10 неравенств. Попробуйте решать их попарно.
1. - неравенство - положительное
2. - отрицательное. Преобразуйте его в положительное.
Сложите их. Получите новое неравенство.
Из вашей таблицы найдите подобное неравенство.
И так далее.

[Shadow]

Мудрые слова

ludwig51 в сообщении #1282018 писал(а):

скорее всего на сообразительность, и не должна быть сложной.

дальше перемудрили. И что значит "неравенство положительное" или отрицательное? Может быть сумма положительная? Вобщем, топикстартеру и без того сложно.

[ewert]

yan01 в сообщении #1281813 писал(а):

Shadow в сообщении #1281810 писал(а):

yan01,как-то сложно пошли. Подумайте, может ли среди чисел быть ровно одно положительное?
А ровно одно отрицательное?

А можно без подбора?

Это не подбор. Количество сумм быстро возрастает по мере увеличения количества слагаемых. Тот факт, что и положительных, и отрицательных сумм ровно пять, накладывает достаточно жёсткие ограничения на возможные количества положительных и отрицательных чисел: ни тех, ни других не может быть слишком много (на это Вам и намекали). Переберите возможные варианты количеств положительных и отрицательных и посчитайте для каждого варианта количество положительных и отрицательных произведений. Секунд двадцать на это потребуется, да; может быть, даже тридцать.

[yan01]

yan01 в сообщении #1281798 писал(а):

Получаем следующее:

$ s_1 > 0 \to x_n + y_n > 0 $

$ s_2 > 0 \to x_{n+1} + y_{n+1} > 0 $

$ s_3 > 0 \to x_{n+2} + y_{n+2} > 0 $

$ s_4 > 0 \to x_{n+3} + y_{n+3} > 0 $

$ s_5 > 0 \to x_{n+4} + y_{n+4} > 0 $

$ s_6 < 0 \to x_{n+5} + y_{n+5} < 0 $

$ s_7 < 0 \to x_{n+6} + y_{n+6} < 0 $

$ s_8 < 0 \to x_{n+7} + y_{n+7} < 0 $

$ s_9 < 0 \to x_{n+8} + y_{n+8} < 0 $

$ s_10 < 0 \to x_{n+9} + y_{n+9} < 0 $

Я не понимаю другого: можно ли осуществить замену этих сложных сложных индексов на одинаковые?

[B@R5uk]

yan01 в сообщении #1281798 писал(а):

Получается 252 комбинации.

Без потери общности можно считать числа a, ..., e упорядоченными по убыванию модуля. Тогда выбирая знак у каждого из них получится всего $2^5 = 32$ комбинации, в каждой из которой знаки сумм и произведений однозначно определены. Остаётся только перебрать полностью или найти какую-нибудь закономерность.

В частности, например, если первые два числа положительны, то не может быть больше 3 отрицательных сумм. То есть даже все 32 комбинации перебирать не надо.

[svv]

yan01, а что Вы обозначили иксами и игреками? И что означает индекс $n$?

[yan01]

svv в сообщении #1282047 писал(а):

yan01, а что Вы обозначили иксами и игреками? И что означает индекс $n$?

Какое-то число. При этом в моём обозначении они не связаны между собой.
А на самом-то деле связаны, но как?
Ведь не сказано, какие именно 5 сумм больше нуля или меньше нуля. Проблема, возникающая при решении этой задачи, заключается в том, что ведь даже несколько отрицательных чисел могут создавать положительную сумму и положительное произведение.

B@R5uk в сообщении #1282046 писал(а):

Без потери общности можно считать числа a, ..., e упорядоченными по убыванию модуля

И почему именно по убыванию модуля? Может быть, они равны между собой (не по модулю)?

[svv]

yan01 в сообщении #1282049 писал(а):

даже несколько отрицательных чисел могут создавать положительную сумму и положительное произведение

Произведение — да, а сумму — нет.

[yan01]

Я всё равно ничего не понимаю. Каждый участник советует разное, но от этого понятнее вариант решения не становится.

[svv]

Насколько я понял, сейчас Вам хотелось бы довести до конца Ваше решение, а не разобраться в предлагаемых. Я думаю, насколько это реалистично, и пока ничего не советую.

[Pphantom]

yan01 в сообщении #1282057 писал(а):

Я всё равно ничего не понимаю. Каждый участник советует разное, но от этого понятнее вариант решения не становится.

Естественно.

Посмотрите на переписку. Вам дал конкретный совет Shadow. Вы ему последовали? Нет. Вы попросили другой совет, и он тоже был дан. Вы его реализовали? Опять-таки нет. Вам дал совет ludwig51 (не очень удачный, но все же дал). Вы ему последовали? Затем появилась детализация первых двух советов от ewert и уточнение от B@R5uk. Последствий опять-таки никаких.

Правилами форума запрещено давать готовое решение. Поэтому Вам дают советы и подсказки. Но если Вы и дальше не будете ими пользоваться, то, естественно, никакого результата не будет.