Задачка от AI

[grizzly]

Вопрос. Верно ли, что если сумма делителей натурального числа есть простое число, то количество делителей этого же числа тоже простое число?

PS. Как можно заметить из названия темы, задачку придумал АИ, следовательно, искать контрпример может быть занятием интересным, но вряд ли полезным

[Dmitriy40]

Интересная задачка, вроде бы её можно свести к утверждению что сумма геометрической прогрессии не может быть простой при непростом количестве членов: $S=\frac{q^n-1}{q-1}$, $S, q$ простые, $n$ не простое. Или может не всю её свести, а лишь контрпример должен быть таков ...

[grizzly]

Dmitriy40 в сообщении #1281680 писал(а):

вроде бы её можно свести к утверждению что сумма геометрической прогрессии не может быть простой при непростом количестве членов: $S=\frac{q^n-1}{q-1}$, $S, q$ простые, $n$ не простое.

Да, это что-то похожее.

[Shadow]

Конечно

$\dfrac{p^n-1}{p-1}\in \mathbb{P}\Rightarrow n\in \mathbb{P}$

От противного: пусть $n=ab,\;a>1,b>1$

$\dfrac{p^{ab}-1}{p-1}=\dfrac{p^{ab}-1}{p^a-1}\cdot \dfrac{p^a-1}{p-1}\not \in \mathbb{P}$

противоречие.

[grizzly]

Shadow
Да!

Пожалуй, дам ссылку на МО, поскольку там в других ответах есть ещё интересные вещи.