Матрица перехода между двойственными базисами

[ikozyrev]

Решаю задачку: найти матрицу перехода между двойственными базисами $\varepsilon_1...\varepsilon_n$ и $\varepsilon'_1...\varepsilon'_n$, если известна матрица переходами $C$ между базисами $e_1..e_n$ и $e'_1...e'_n$.
Прочитал, что ответ - $C^T$, проверяю для первого двойственного базисного вектора:
$\varepsilon'_1(e'_1)=(c_{11}\varepsilon_1+c_{12}\varepsilon_2+...+c_{1n}\varepsilon_n)(c_{11}{e_1}+c_{21}{e_2}+...+c_{n1}{e_n})=c_{11}{c_{11}}+c_{12}{c_{21}}+...+c_{1n}{c_{n1}}$
Но с другой стороны, ведь $\varepsilon'_1(e'_1)=1$!
Помогите понять, что здесь не так?

[Xaositect]

ikozyrev в сообщении #1281412 писал(а):

Прочитал, что ответ - $C^T$

Это неправильный ответ.

[ikozyrev]

Xaositect в сообщении #1281420 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1281412 писал(а):

Прочитал, что ответ - $C^T$

Это неправильный ответ.

Да, должно быть $(C^{-1})^T$

[svv]

ikozyrev
Удобно определять матрицы перехода так, чтобы:
$\bullet$ $k$-й столбец матрицы перехода от «старого» базиса $e_1..e_n$ к «новому» базису $\tilde e_1...\tilde e_n$ исходного пространства $L$ содержал координаты $k$-го нового базисного вектора в старом базисе,
но
$\bullet$ $k$-я строка матрицы перехода от «старого» базиса $\varepsilon^1...\varepsilon^n$ к «новому» базису $\tilde \varepsilon^1...\tilde \varepsilon^n$ сопряжённого пространства $L^*$ содержала координаты $k$-го нового базисного ковектора в старом базисе.
Если это учесть, то ответ — просто $C^{-1}$.

[ikozyrev]

svv в сообщении #1281450 писал(а):

ikozyrev
Удобно определять матрицы перехода так, чтобы:
$\bullet$ $k$-й столбец матрицы перехода от «старого» базиса $e_1..e_n$ к «новому» базису $\tilde e_1...\tilde e_n$ исходного пространства $L$ содержал координаты $k$-го нового базисного вектора в старом базисе,
но
$\bullet$ $k$-я строка матрицы перехода от «старого» базиса $\varepsilon^1...\varepsilon^n$ к «новому» базису $\tilde \varepsilon^1...\tilde \varepsilon^n$ сопряжённого пространства $L^*$ содержала координаты $k$-го нового базисного ковектора в старом базисе.
Если это учесть, то ответ — просто $C^{-1}$.

Спасибо!
Все вроде на места встало.