Момент инерции тонкой пластины

[miuon]

Здравствуйте! Не могу решить задачу: дана тонкая пластина, размерами $a=20$м на $b=40$. Линейная плотность$\sigma=23$кг/кубометр. Ось вращения проходит через центр мас. Найти момент инерции, относительно оси параллельной большей стороне
Дошел до того, что начал интегрировать по $J=2\int_{0}^{\frac{a}{2}}x^2b\sigma dx$
$J=2\frac{x^3b\sigma}{3}$ от $0$ до $\frac{a}{2}$
Но результат выходит мало того, что странным, так и ещё неправильным
Пожалуйсте, помогите решить, ибо не знаю что дальше делать

P.S. Пластину разбивал на $dr$ маленьких однородных стержней

[Pphantom]

miuon в сообщении #1279620 писал(а):

P.S. Пластину разбивал на $dr$ маленьких однородных стержней

А в чем смысл этого деяния?

Чему равен момент инерции? По определению.

[miuon]

Pphantom в сообщении #1279626 писал(а):

А в чем смысл этого деяния?

Так как я первокурсник, мне преподаватель говорил, что если есть линейная плотность - то лучше разбить тело на $dr$ частичку с массой $dm$

[Pulseofmalstrem]

miuon
Наверное преподаватель имел ввиду тот факт, что нужно проитегрировать определение момента инерции по пластине с учетом того, что элемент поверхности $dxdy$ имеет массу $\sigma dxdy$, кстати, по поводу "линейной плотности" - почему у вас у линейной плотности размерность совпадает с объемной плотность $\frac{kg}{m^3}$, если у линейной плотности должна быть размерность $\frac{kg}{m}$, а по смыслу задачи нужна так вообще поверхностная плотность (пластина-то тонкая)

[wrest]

miuon в сообщении #1279631 писал(а):

что если есть линейная плотность - то лучше разбить тело на $dr$ частичку

А что по-вашему такое "линейная плотность" и что такое $dr$?

[miuon]

Скорее всего, я неправильно формулирую вопрос: преподаватель говорил мне, что если у меня есть пластинка и нужно найти момент инерции относительно какой-то оси, то эту пластинку можно разбить на однородные стержни, массой $dm$ и толщиной $dr$
$dm=\sigma dS$
$dS=dxb$
Вот это всё, что он дал для конспекта...

[Pulseofmalstrem]

Вопрос модератору:

(Оффтоп)

Правилами форума в такой ситуации можно изложить метод решения задачи в общем виде, чтобы человек смог сам решить задачу?

[wrest]

miuon
Хорошо, а что вы думаете значит "однородные стержни"?
В смысле - как эти стержни расположены: параллельно оси вращения, перпендикулярно, другое?

[miuon]

Перпендикулярно

[wrest]

miuon в сообщении #1279642 писал(а):

Перпендикулярно

Ок, допустим в пластину поместился только один такой стержень, что тогда?
Ну и заодно: а что по-вашему значит "однородный"?
Да, и напследок: а что вообще значит "стержень", чем он отличается от "пластины"?

[Pulseofmalstrem]

Все-таки возьму на себя смелость прояснить ситуацию, если мои действия некорректны - данное сообщение можно удалить, а меня подвергнуть нужной мере репрессий.

По определению момент инерции точечного тела относительно оси есть следующая величина: $I = mr^2$, где $m$ - масса частицы, а $r^2$ - квадрат расстояния от частицы до оси. Для системы из $n$ точек данное определение записывается в целом также, только надо просуммировать эту величину по всем точкам: $I = \sum\limits_{i = 0}^{n}m_i r_{i}^{2}$, где обозначения те же, индекс указывает на принадлежность к той или иной частице. Отсюда легко понять как определить момент инерции для объемного тела, если известная его плотность: необходимо разбить сие тело на маленькие кубики размер которых достаточно мал для того, чтобы можно было считать плотность в них постоянной, тогда момент инерции будет суммой величины $mr^2$ по всем таким кубикам, устремляя мелкость кубиков к нулю мы разумеется получим интеграл следующего вида:
$I = \int\limits_{A}^{}\rho(x,y,z) r^2 dxdydz$, где интеграл берется по всему объему тела $A$. Величина $\rho dxdydz$ несет смысл массы элементарного кубика, так как $dxdydz$ - произведение сторон такого кубика, что дает его объем, а $\rho$ - плотность, а плотность помноженная на объем, как известно, дает массу.

Если тело представляет из себя поверхность (для простоты будем считать, что она плоская как в вашем примере) - происходит все тоже самое, только надо брать интеграл по поверхности, и вместо объемной плотность использовать поверхностную плотность, которая несет в себе смысл веса элемента поверхности нашего тела. То есть в вашей задаче предлагается вычислить интеграл:

$I = \int\limits_{A}^{}\sigma r^2 dxdy$

Все пляски дальше только вокруг способа вычисления этой штуки, поскольку мы умеем хорошо брать интегралы по одномерным штуковинам, то нам очень хотелось бы придумать такое разбиение нашего тела, чтобы интегрировать было бы как можно проще, например, если бы тело было бы кругом, а ось проходила бы через его центр, - мы могли бы попытаться разбить круг на колечки площадь каждого колечка толщины $dr$ вычислялась бы так: $dS = 2\pi rdr$ - это просто увидеть, если понимать, что такое малое колечко мало чем отличается от прямоугольника (его можно разрезать и выпрямить например), так что его площадь есть произведение длин его сторон: $dr$ - шаг вглубину, а $2\pi r$ - шаг в сторону, то есть длина окружности. Далее надо вычислить момент инерции каждого колечка относительно оси (что весьма просто, попробуйте сделать это по определению), а потом просуммировать получившийся ответ по все таким колечкам, то есть проинтегрировать получившуюся формулу по радиусам.

В случае вашей задачи удобнее разбить пластинку на полоски параллельные оси, вычислить для каждой полоски момент инерции и так же собрать ответ воедино. Поэтому Ваш преподаватель и говорил разбить тело на цилиндры, чтобы вычислить момент инерции каждого цилиндра по отдельности, а потом просуммировать получившийся ответ. Чтобы правильно решить задачу надо понять чему равна площадь каждой маленькой полоски, и верно взять все интегралы.

[Pphantom]

Pulseofmalstrem в сообщении #1279649 писал(а):

Правилами форума в такой ситуации можно изложить метод решения задачи в общем виде, чтобы человек смог сам решить задачу?

В разумных пределах - да. Хотя пересказом каждого первого учебника, наверное, все же в общем случае заниматься не стоит.

[Pulseofmalstrem]

(Оффтоп)

Интересно, кстати, мой стиль изложения вопроса приемлем? Понятно ли то, что я старался изложить? Я просто думаю может мне написать серию небольших очерков по элементарным общефизическим вопросом для помощи любому учащемуся.

[DimaM]

Pulseofmalstrem в сообщении #1279649 писал(а):

В случае вашей задачи удобнее разбить пластинку на полоски параллельные оси, вычислить для каждой полоски момент инерции и так же собрать ответ воедино.

Лучше разбивать на полоски, оси перпендикулярные. Тогда вычисление проделывается буквально в уме.

[fred1996]

Хотелось бы отметить, что тонкая пластина относится к числу "канонических" фигур, моменты инерции которых школьники должны знать наизусть.
Обычно учитель в самом начале демонстрирует на таких фигурах, как вычислять моменты инерции. А задачи задает для более сложных фигур.