Как решить данную систему диф уравнений?

[tremor]

$$$\begin{cases}\dot{x} = y +\cos t \\ \dot{y} = 1 -x\end{cases}$$$

Как я понимаю система неоднородна, сначала решаем однородную

$$$\begin{cases}\dot{x} = y \\ \dot{y} = -x\end{cases}$$$

тут все хорошо:

$$\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}C_1\cos t + C_2\sin t \\ -C_1\sin t + C_2 \cos t \end{pmatrix}$$

А как именно действовать дальше? (даже лучше сказать, каким именно методом пользоваться, столько всего написано, даже в голову не лезет)

[worm2]

Стандартный способ: теперь объявляем, что $C_1$ и $C_2$ — не константы, а функции от $t$, на которые получается новая система дифуров.

[tremor]

worm2 в сообщении #1278142 писал(а):

Стандартный способ: теперь объявляем, что $C_1$ и $C_2$ — не константы, а функции от $t$, на которые получается новая система дифуров.

Это как метод вариации, только для систем?

[dsge]

Или свести к одному уравнению 2-го порядка и угадать решения неоднородного.

[tremor]

dsge
с угадыванием решений проблем нет (перерешал кучу примеров, 90% случаев из таблиц наизусть помню), а как свести?

[worm2]

tremor в сообщении #1278146 писал(а):

Это как метод вариации, только для систем?

Ну да.
Должно получиться так:

$$\begin{cases} \dot{x}-y = C'_1(t)\cos t + C'_2(t)\sin t = \cos t\\ \dot{y}+x = -C'_1(t)\sin t + C'_2(t)\cos t = 1 \end{cases}$$

Решая эту систему, находим $C'_1(t)$ и $C'_2(t)$, получаем два дифура первого порядка на $C_1(t)$ и $C_2(t)$, решаем их и подставляем.

[dsge]

Продифференцируйте первое и подставьте производную $y$ из второго уравнения.

[D'Amir]

Здесь можно и проще: из второго уравнения следует, что $x = 1 - \dot{y}$, а значит $\dot{x} = - \ddot{y}$. Подставляя это в первое уравнение, получим ДУ второго порядка? решая которое найдём $y$. Подставив найденную функцию $y$ в равенство $x = 1 - \dot{y}$, определим $x$.