Найти предел последовательности по определению

[Keks0314]

Здравствуйте. Задание: найти предел последовательности $\lim_{n\to\infty} \frac{1+2^n}{5+n^2}$. Как доказать по определению пределы, которые равны нулю или какому-либо числу, понятно, а как сделать это для бесконечности?

[Brukvalub]

У такого предела тоже есть определение, вот его и нужно проверить.

[Keks0314]

Brukvalub в сообщении #1277204 писал(а):

У такого предела тоже есть определение, вот его и нужно проверить.

Нужно найти такое n, начиная с которого все значения функции не будут принадлежать любой $\varepsilon$-окрестности? Как это сделать?

[Brukvalub]

Keks0314 в сообщении #1277208 писал(а):

Нужно найти такое n, начиная с которого все значения функции не будут принадлежать любой $\varepsilon$-окрестности? Как это сделать?

Пока вы сформулировали не определение бесконечного предела, а что-то несуразное.

[grizzly]

Keks0314
Здесь последовательность, а не функция. Просто найдите определение для случая "предел последовательности равен бесконечности (здесь лучше со знаком)" и проверьте его. Вместо Вас это определение никто не найдёт, потому что в разных лекциях / учебниках оно может быть записано по разному (хотя и означает одно и то же).

[Keks0314]

grizzly в сообщении #1277214 писал(а):

Keks0314
Здесь последовательность, а не функция. Просто найдите определение для случая "предел последовательности равен бесконечности (здесь лучше со знаком)" и проверьте его. Вместо Вас это определение никто не найдёт, потому что в разных лекциях / учебниках оно может быть записано по разному (хотя и означает одно и то же).

На лекциях было дано такое определение: $\lim_{n\to\infty} x_n = +\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists N \in \mathbb{N} : \forall n > N \Rightarrow x_n > \varepsilon$. Не совсем понятно, как найти n.

[Brukvalub]

Сначала докажите, что при $n>9$ верно неравенство $2^n>n^3$, затем воспользуйтесь доказанным.

[Keks0314]

Brukvalub в сообщении #1277226 писал(а):

Сначала докажите, что при $n>9$ верно неравенство $2^n>n^3$, затем воспользуйтесь доказанным.

Спасибо большое!