2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Quadrature...
Сообщение09.03.2006, 20:55 


09/03/06
32
Sibiu ,Romania
In the following $a,b $ , ($ 0 < a<b\le 1 $) ,and $ A , B, C  $ are rational numbers. Suppose that equality

$ \; \; \; \; \int\limits_{-1}^{1}f(x)\; dx = A\left( f(-a)+f(a)\right ) + B\left( f(-b)+f(b)\right ) +Cf(0)  $
is satisfied for any polynomial function of degree $\le m . $
Find the maximum possible value of $ m $ .

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2006, 21:44 
Заслуженный участник


09/02/06
4329
Москва
Пусть $P(x)=x(x^2-a^2)(x-b^2)$. Тогда интеграл от P(x)P(x) больше 0. Поэтому m<10. Легко построить формулы, когда они дают точное значение для любых полиномов степени не выше 9.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2006, 22:10 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5217
sasa писал(а):
[b]In the following $a,b $ , ($ 0 < a<b\le 1 $) ,and $ A , B, C  $ are rational numbers.


Please clarify whether $a,b$ must be rational or not.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2006, 22:54 
Заслуженный участник


09/02/06
4329
Москва
Да, забыл про рациональность.
Для нечётных полиномов и справа и слева нули, а значит формулы точны всегда. Из того, что для f(x)=1 формула точна получаем 2A+2B+C=2, из равенства для квадратичных получаем
2Aaa+2Bbb=2/3. Из четвёртой степени 2Aa^4+2Bb^4=2/5. Отсюда вычисляется, a и b. При этом для точности для степеней 6 го порядка получаем, что достаточно, чтобы a^2 и b^2 были рациональными. Этого удается добиться сделав дискриминант $(\frac {2B}{3A})^2-4(\frac{A}{9}-\frac 15)(B+\frac{B^2}{a})$ квадратом и удовлетворив соотношению
$Aa^6+Bb^6=1/7$. Решение существует. Сделать точным и для восьмой степени удается для единственной квадратурной формулы
$a=\sqrt{\frac{33-\sqrt{280}}{63}}, b=\sqrt{\frac{35+\sqrt{280}}{63}},A=\frac{322+13\sqrt{70}}{900},B=\frac{322-13\sqrt{70}}{900},C={128}{225}$ с m=9. Следовательно, для рациональных m=7.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 00:16 


09/03/06
32
Sibiu ,Romania
maxal писал(а):
sasa писал(а):
[b]In the following $a,b $ , ($ 0 < a<b\le 1 $) ,and $ A , B, C  $ are rational numbers.

Please clarify whether $a,b$ must be rational or not.

Yes, all $ a,b, A,B,C $ must be rational numbers.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 00:32 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5217
Руст писал(а):
из равенства для квадратичных получаем
2Aaa+2Bbb=2/3. Из четвёртой степени 2Aa^4+2Bb^4=2/5. Отсюда вычисляется, a и b.

Как именно?
Это же 2 уравнения с 4-мя неизвестными.

Руст писал(а):
При этом для точности для степеней 6 го порядка получаем, что достаточно, чтобы a^2 и b^2 были рациональными. Этого удается добиться сделав дискриминант $(\frac {2B}{3A})^2-4(\frac{A}{9}-\frac 15)(B+\frac{B^2}{a})$

Дискриминант чего?

Кстати, автор похоже по-русски не разумеет, лучше писать по-англицки.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 01:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Judging by "Trig. neraventsva" and Uravnenija 2x**4 + ... theme titles, the author can read Russian (at least).

Anyway, is it reasobable to solve all the problems for Sasa? It does not look like she/he is going to put any efforts in it beyond typing it here. I found 6 already, and counting. The usual forum policy is to advise, to help to solve, not to solve for person. Insofar Sasa did not demonstrate any attempt to solve any of the posted problems. Will he/she learn anything from us solving all of them? Or should we try to explain what's going on in them? It looks like all of them from the same topic: from the properties deduce the only possible value for the parameter(s).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 02:12 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5217
The system of equations
$A a^2 + B b^2=\frac 13$
$A a^4 + B b^4=\frac 15$
$A a^6 + B b^6=\frac 17$
implies
$15 - 21 b^2 - 21a^2 + 35 a^2 b^2 = 0$. This equation does not have rational solutions.

Therefore, the maximum possible m is $m=5$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 03:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
maxal писал(а):
$15 - 21 b^2 - 21a^2 + 35 a^2 b^2 = 0$. This equation does not have rational solutions.

Can you cexplain, why it cannot be solved in Q?

BTW, I've got the equation directly applying the formula to $f(x) = x^2(x^2-a^2)(x^2-b^2)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 03:41 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5217
незванный гость писал(а):
:evil:
maxal писал(а):
$15 - 21 b^2 - 21a^2 + 35 a^2 b^2 = 0$. This equation does not have rational solutions.

Can you cexplain, why it cannot be solved in Q?

Turn it into an equation over integers, reduce by some power of 3 making at least one term not divisible by 3 (up to symmetry there are two cases), then consider the resulting equation modulo 3. You'll get a square equal a non-square modulo 3.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 03:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Thank you. I tried modulo 5 and 7.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 07:29 


09/03/06
32
Sibiu ,Romania
незванный гость писал(а):
:evil:
Judging by "Trig. neraventsva" and Uravnenija 2x**4 + ... theme titles, the author can read Russian (at least).

Yes , I read Russian/Sasa

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 07:38 
Заслуженный участник


09/02/06
4329
Москва
1. Пропустил дискриминант "квадрат рационального числа".
2. В условии не сказано, что a и b рациональные. Сказано только о рациональности чисел A,B,C. Соответственно речь идёт о выражении a и b через A,B,C (какие получатся).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 08:06 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5217
Руст писал(а):
1. Пропустил дискриминант "квадрат рационального числа".

И все равно непонятно о дискриминанте ЧЕГО идет речь.
Руст писал(а):
2. В условии не сказано, что a и b рациональные. Сказано только о рациональности чисел A,B,C. Соответственно речь идёт о выражении a и b через A,B,C (какие получатся).

Специально же уточнили:
sasa писал(а):
maxal писал(а):
Please clarify whether $a,b$ must be rational or not.

Yes, all $ a,b, A,B,C $ must be rational numbers.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 10:44 
Заслуженный участник


09/02/06
4329
Москва
Тогда m=5 и ничего добавить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group