Установить взаимно-однозначное соответствие (новая задача)

[gogoshik]

Прошу помочь, плиз.
Требуется установить взаимно-однозначное соответствие между полуинтервалом $[0,1)$ и лучом $[0, +\infty)$.
Для этого я сначала устанавливаю взаимно-однозначное соответствие между $[0,1)$ и $[1,+\infty)$ в виде отображения: $x \mapsto 1/x$. Верно ли это?

[mihaild]

Ну что значит "верно"? Да, ваше отображение задает указанную биекцию. Существуют решения, использующие это в качестве первого шага; существуют не использующие.

[gogoshik]

mihaild, спасибо. Если этот шаг правильный, то пусть будет так. Тогда вторым шагом будет биекция: $x \mapsto (1-x)$ между множествами $[1, +\infty)$ и $[0, +\infty)$. И как решение - композиция отображений.

-- 18.12.2017, 19:31 --

mihaild в сообщении #1276086 писал(а):

существуют не использующие.

Это с использованием тригонометрических функций? Что то мне с ними менее понятно (сложнее подбирать). А какая тут общая схема (идея) выбора функций?

[Lia]

gogoshik в сообщении #1276085 писал(а):

Для этого я сначала устанавливаю взаимно-однозначное соответствие между $[0,1)$ и $[1,+\infty)$ в виде отображения: $x \mapsto 1/x$. Верно ли это?

А ноль это отображение куда отправит?

[gogoshik]

Lia в сообщении #1276093 писал(а):

А ноль это отображение куда отправит?

$+\infty$

[BVR]

Можно сначала $[0, 1)$ отобразить на $[0,\pi /2)$ а потом тангенсом уже куда надо.

[Lia]

gogoshik
(положим)
Которая в интервал не должна попадать, да?

[mihaild]

Ой, я читать не умею:( Lia права, конечно, это отображение не подходит.
(но его несложно поправить так, чтобы начало подходить)

[gogoshik]

Lia, спасибо, но я Вас не понимаю. Я думал что куда еще ноль может попасть, ведь нет точного попадания в $+\infty$, так как это не точка и как я представляю не бывает замкнутого промежутка $[0, +\infty]$ (ну я читал про расширенную числовую прямую $[a, +\infty) \cup $\left\lbrace +\infty \right\rbrace$ и не думаю, что это тот случай). Объясните, плиз.

[ИСН]

Что ж тут объяснять. Да, $x\mapsto1/x$ отображает $(0,1)$ в $(1,+\infty)$, но с обоими концами проблема. 0 попадает в $\infty$, куда никто попадать не должен. Зато в 1 не попадает никто, а ведь кто-то должен.

[Someone]

gogoshik в сообщении #1276151 писал(а):

Lia, спасибо, но я Вас не понимаю.

Ваше отображение не определено в нуле и ничего не отображает в единицу (пока писал, и ИСН написал о том же). Но можно придумать совсем простую функцию, которая будет определять биекцию $[0,1)$ на $[0,+\infty)$. Просто подумайте о том, куда она должна отображать $0$ и как должна вести себя при $x\to 1^_-$. И как этого добиться простыми арифметическими операциями.

[gogoshik]

Думаю, что тогда это будет отображение: $x \mapsto \ln(1/(1-x))$.

[ИСН]

А почему не $x\over1-x$?

[gogoshik]

ИСН, спасибо. Я даже и не рассматривал такой простой вариант. Первым делом начал думать о логарифмических и показательных функциях. И вроде как сошлось с указаниями Someone. Ноль отобразился в $0 = \ln 1$ и при стремлении к единице, думал что $f(x) \to +\infty$ (правда медленнее чем у Вас). Получается, ошибся.

[ИСН]

Нет, почему, Ваш вариант тоже годится. Просто не надо это формулировать в терминах, подразумевающих (косвенно), что он такой один.