Коровы одинаковой массы

[Markiyan Hirnyk]

Есть стадо из 101 коровы. Каждая из коров имеет массу. Если любую корову вывести из стада, то остальных можно разделить на 2 группы по 50 коров с одинаковой суммарной массой. Докажите, что массы всех коров равны, если эти массы:
a) натуральные;
б) положительные вещественные.

[Sonic86]

topic70639.html

[Markiyan Hirnyk]

Sonic86
Спасибо за содержательную ссылку с ответом на а). Случай действительных положительных масс там не рассматривался. Поскольку задача предлагалась ученикам, то по идее должно быть элементарное решение.

[g______d]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1275471 писал(а):

Случай действительных положительных масс там не рассматривался.

А вы попробуйте, может быть, в решении по ссылке целочисленность не использовалась?

[Markiyan Hirnyk]

g______d

Цитата:

А вы попробуйте, может быть, в решении по ссылке целочисленность не использовалась?

Использовалась. В частности, автор отмечает

Цитата:

Матрица системы $M$ такая: в каждой строке один нуль, $k$ единиц и $k$ минус единиц, каждый нуль находится в разных столбцах.

[DeBill]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1275471 писал(а):

по идее должно быть элементарное решение

1.Ну, для целых масс - как раз хорошая школьная задача, иллюстрирующая метод спуска:
проверяем, что четность весов - одинакова для всех коров.
Если веса нечетны - отрежем от каждой коровы по килограмму...
Если - четны: уполовиним всех коров....
2. Рациональные (соизмеримые) веса сводятся к целым.
3. А общий случай - тоже хорош, как вводная задача на тему "линейная зависимость, базисы, и т.п.":
Если на "высоком" языке, то: в линейном пространстве (над рациональными числами), порожденном весами коров, выберем базис. Условия задачи выполняются для проекций весов на каждый базисный вектор. Так что все сводится к 2). Осталось перевести это рассуждение на язык низкого уровня....

[Markiyan Hirnyk]

Пожалуйста, изложите точно и аккуратно. В частности, объясните

Цитата:

3. А общий случай - тоже хорош, как вводная задача на тему "линейная зависимость, базисы, и т.п.":
Если на "высоком" языке, то: в линейном пространстве (над рациональными числами), порожденном весами коров, выберем базис. Условия задачи выполняются для проекций весов на каждый базисный вектор. Так что все сводится к 2). Осталось перевести это рассуждение на язык низкого уровня....

Например, обоснуйте

Цитата:

Условия задачи выполняются для проекций весов на каждый базисный вектор.

[g______d]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1275476 писал(а):

Использовалась. В частности, автор отмечает
Цитата:

Матрица системы $M$ такая: в каждой строке один нуль, $k$ единиц и $k$ минус единиц, каждый нуль находится в разных столбцах.

Прочитайте решение внимательнее. Элементы матрицы -- это не веса коров, а коэффициенты.

[DeBill]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1275481 писал(а):

Какое линейное пространство вы имеете в виду?

Вещественные числа образуют линейное пространство над полем рациональных (бесконечномерное). А имеется в виду, его подпространство (линейная оболочка), порожденное 101 весом наших коров.

[Markiyan Hirnyk]

g______d
Вы правы.

Мне непонятно , почему $\operatorname{rank} M =n-1.$

[DeBill]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1275481 писал(а):

Например, обоснуйте

Для первого базисного вектора: образуем новое стадо, веса телят в котором будут равны проекциям коров на этот вектор. Делить стадо телят будем в точности так как делили (после убиения одной из) коров. Проекция суммы равна сумме проекций. Равные векторы имеют равные проекции. Значит, для стада телят условия задачи также выполняются.

[g______d]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1275486 писал(а):

Но мне непонятно, почему $\det M =0.$

Подсказка: если в каждой строке матрицы сумма всех элементов равна нулю, то у соответствующего линейного преобразования нетривиальное ядро, ненулевой вектор из ядра попробуйте угадать сами.

-- Сб, 16 дек 2017 10:38:19 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1275486 писал(а):

мне непонятно, почему $\operatorname{rank} M =n-1.$

Ну там же написано всё. Посчитали главный $(n-1)\times (n-1)$ минор, он оказался нечётным, поэтому он не ноль.

[Markiyan Hirnyk]

g______d
Мне непонятно

Цитата:

Просто вычислим главный минор над $\mathbb{Z}_2$ - он будет равен 1.

[scwec]

(Оффтоп)

Коровы, конечно, слова доброго не стоят. Однако, выбросы ЗВ подлежат оплате в Росприироднадзоре.
Вообще, запутанная история.

[Markiyan Hirnyk]

Полное решение задачи длиной в несколько страниц приведено здесь, с. 11-16.
Тему рассматриваю как закрытую. Задачу (без ее решения) узнал из Интернета.