Помогите разобраться с доказательством из Зорича

[Ivan_B]

Зорич, стр 54
"2. Покажем, что $(n \in \mathbb N) \wedge (n \neq 1) \Rightarrow ((n-1) \in \mathbb N)$
Рассмотрим множество $E$ натуральных чисел вида $n-1$, где $n$ - натуральное число, отличное от $1$, и покажем, что $E = \mathbb N$..." Далее показано, что $E = \mathbb N$. По определению $E=\Left\{x \in \mathbb N | \exists n (x = n-1 \wedge n \in \mathbb N \wedge n \neq 1\)\Right\}$ После того как доказано, что $E = \mathbb N$, можно записать $\forall x (x \in \mathbb N \Rightarrow \exists n (n \in \mathbb N \wedge x = n-1))$ Как из этого получается $\forall x ((x \in \mathbb N) \wedge (x \neq 1) \Rightarrow ((x-1) \in \mathbb N))$?

[svv]

Раз обсуждаются такие основы, что такое $n-1$ ? Для каких $n$ это определено?

[Ivan_B]

svv в сообщении #1275136 писал(а):

что такое $n-1$ ? Для каких $n$ это определено?

Зорич, стр 44:
"Выражение $b+(-a)$ записывают также в виде $b-a$. Этой более короткой и привычной записи мы, как правило, и будем придерживаться."
"+" определен для действительных чисел.

svv в сообщении #1275136 писал(а):

Раз обсуждаются такие основы

Если доказательство приведено, значит с ним нужно разобраться, чтобы дальше все четко понимать?
Если бы была оговорка, как
Зорич, стр 136:
"Здесь мы будем апеллировать к школьному определению $\sin(x)$...В свое время мы это сделаем и обоснуем те рассуждения, которые сейчас будут опираться на наглядность."

[kp9r4d]

Давайте чуть по-другому, доказывать не
$(n \in \mathbb N) \wedge (n \neq 1) \Rightarrow ((n-1) \in \mathbb N)$
а эквивалентное
$(n \in \mathbb N) \Rightarrow (n = 1) \vee ((n-1) \in \mathbb N)$
вот то свойство, что справа обознчим за $\varphi(n)$
$(n \in \mathbb N) \Rightarrow \varphi(n)$
Если показать, что множество чисел, удовлетворяющих свойству $\varphi$ включает в себя $\mathbb{N}$, это будет ровно то. Ну а это просто по индукции.

-- 15.12.2017, 18:28 --

(Оффтоп)

Ivan_B в сообщении #1275138 писал(а):

Если доказательство приведено, значит с ним нужно разобраться, чтобы дальше все четко понимать?

Да не, некоторые доказательства даже вообще лучше не знать, просто чтобы вкус себе не портить. ^^

[svv]

Да, у Зорича, как минимум, шероховатость. Требуется доказать две вещи:
а) любое натуральное число представимо в виде $n-1$, где $n \in \mathbb N$.
б) любое число вида $n-1$, где $n \in \mathbb N$ и $n>1$, натуральное.
Зорич доказал а), но не б): он изначально рассматривает множество $E$ таких $n-1$, для которых свойство «быть натуральным» выполняется.

[kp9r4d]

Так на б) он вроде и не претендовал.

[svv]

б) — это словами переданное вот это:

Ivan_B в сообщении #1275132 писал(а):

Покажем, что $(n \in \mathbb N) \wedge (n \neq 1) \Rightarrow ((n-1) \in \mathbb N)$

(это цитата из Зорича)

[Ivan_B]

kp9r4d в сообщении #1275141 писал(а):

Давайте чуть по-другому, доказывать

Идею понял:
$E=\Left\{n \in \mathbb N | n = 1 \vee ((n-1) \in \mathbb N)\Right\}$
Тогда $1 \in E$. Если $n \in E \Rightarrow n=1 \vee (n-1) \in \mathbb N $ $\Rightarrow n \in \mathbb N $ $\Rightarrow (n+1) \in \mathbb N \wedge (n+1-1) \in \mathbb N \Rightarrow (n+1) \in E$
По индукции $E = \mathbb N$,
тогда $\forall x (x \in \mathbb N \Rightarrow x = 1 \vee (x-1) \in \mathbb N)$

kp9r4d в сообщении #1275155 писал(а):

Так на б) он вроде и не претендовал.

Или не понял. Почему не претендовал?

[kp9r4d]

Ну значит на а) не претендовал, я в общем про то, что там следование, а не эквивалентность. В любом случае это неважно, в обе стороны не сложнее чем в одну доказывать.

[arseniiv]

svv в сообщении #1275150 писал(а):

б) любое число вида $n-1$, где $n \in \mathbb N$ и $n>1$, натуральное.

svv в сообщении #1275203 писал(а):

б) — это словами переданное вот это:

Ivan_B в сообщении #1275132 писал(а):

Покажем, что $(n \in \mathbb N) \wedge (n \neq 1) \Rightarrow ((n-1) \in \mathbb N)$

(это цитата из Зорича)

А по-моему, нет.

-- Сб дек 16, 2017 00:16:34 --

(б) эквивалентнее всего $\forall x.\;(\exists n\in\mathbb N.\; x = n-1\wedge n\ne1)\to x\in\mathbb N$ (лучше всё-таки пока не впутывать $>$).

[svv]

Согласен.

[Ivan_B]

Спасибо Всем за Ваши ответы, с вопросом разобрался. Отдельное спасибо kp9r4d за красивое доказательство!

[ewert]

arseniiv в сообщении #1275219 писал(а):

(б) эквивалентнее всего $\forall x.\;(\exists n\in\mathbb N.\; x = n-1\wedge n\ne1)\to x\in\mathbb N$ (лучше всё-таки пока не впутывать $>$).

Эквивалентнее всего не смешивать в один компот кванторы всеобщности со стрелочками. Тут, что называется -- или трусы, или крестик. Хотя, с другой стороны: "что я, сторож брату моему?"... (c)

[arseniiv]

ewert
Вы про то, что красивее и привычнее будет $\Rightarrow$? Просто $\to$ проще набирать.

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1275259 писал(а):

Вы про то, что красивее и привычнее будет $\Rightarrow$? Просто $\to$ проще набирать.

Нет, я не про это. А про то, что Ваше (и не только Ваше) дублирование кванторов и стрелочек наверное, хорошо и даже обязательно для теоретико-множественников. Но вот нормальным математикам оно просто режет глаза. Нормальные ведь формулы не только пишут, но ещё и пытаются читать применительно к своей предметной области. И вот тут возникает типо когнитивный диссонанс.

-- Сб дек 16, 2017 01:31:12 --

Да, по поводу конкретно Зорича. Он частенько пижонит, и вот тут опять. Нефиг ему было ссылаться на какие-то формализации, коль скоро он ни одну из них не в силах всё равно довести до ума (причём не по злобЕ, а по объективным причинам -- просто из-за ограниченности любого курса).