Правильно-ли я ищу интеграл через вычет?

[tremor]

Имеется интегральчик

$$\int_{0}^{2\pi} \frac{d\varphi}{(2+\cos \varphi )^2}$$

Соответственно применяю вот такие замены:

$$\begin{array}{|c|}\cos \varphi = \frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right) \\ d\varphi = -\frac{idz}{z} \end{array}$$

После всех упрощений интеграл сводится к такому:

$$-4i\oint\limits_{|z| = 1}\frac{zdz}{(z+2+\sqrt{3})^2(z+2-\sqrt{3})^2}$$

Знаменатель имеет два полюса второго порядка, из которых внутри контура лежит только один, а именно: $z = -2+\sqrt{3}$

Далее у меня начинается путаница в голове, по сути для вычета высших порядков есть всем известная общая формула, но меня смущает то, что расчет разрастается весьма прилично, запутаться как пить дать можно, отсюда вопрос правильно-ли я поступаю вообще, получается что производную $\frac{df}{dz}$

надо искать от выражения

$$\frac{1}{(z+2+\sqrt{3})^2(z+2-\sqrt{3})}$$

как-то не очень весело.. если найти производную то там еще менее весело :( Вообще не уверен что правильно поступаю

[Metford]

tremor в сообщении #1274049 писал(а):

Соответственно применяю вот такие замены:

У Вас там не синус должен быть.

tremor в сообщении #1274049 писал(а):

но меня смущает то, что расчет разрастается весьма прилично

Один вычет всего второго порядка. Ничего сложного или необычного. И хуже бывает.

[tremor]

Metford в сообщении #1274052 писал(а):

tremor в сообщении #1274049 писал(а):

Соответственно применяю вот такие замены:

У Вас там не синус должен быть.

tremor в сообщении #1274049 писал(а):

но меня смущает то, что расчет разрастается весьма прилично

Один вычет всего второго порядка. Ничего сложного или необычного. И хуже бывает.

поправил, подставлял верно, записал просто не то сюда, тем не менее как я понял рассуждал я правильно, осталось только производную найти и предел от этой производной?

[Metford]

Вижу, что подставили правильно. Но нельзя же было мимо явно неверной записи пройти...
Да, осталось вычислить производную и найти соответствующий предел. Если что, у меня уже есть ответ - давайте Ваш. Сравним.

[tremor]

Metford в сообщении #1274061 писал(а):

Вижу, что подставили правильно. Но нельзя же было мимо явно неверной записи пройти...
Да, осталось вычислить производную и найти соответствующий предел. Если что, у меня уже есть ответ - давайте Ваш. Сравним.

что то у меня при первой производной бесконечность, при второй тоже :/ даже уже в маткад вбил, производные верно подсчитаны, а при попытке подставить грусть печаль и неопределенность

[Lia]

Потому что неправильно поступаете.

tremor в сообщении #1274049 писал(а):

отсюда вопрос правильно-ли я поступаю вообще, получается что производную $\frac{df}{dz}$

надо искать от выражения

$$\frac{1}{(z+2+\sqrt{3})^2(z+2-\sqrt{3})}$$

[Metford]

Уф... Вот не покажешь явно ошибку - мимо неё пройдут... Конечно, вычет нужно правильно считать!

[tremor]

Metford в сообщении #1274153 писал(а):

Уф... Вот не покажешь явно ошибку - мимо неё пройдут... Конечно, вычет нужно правильно считать!

ага, я как понимаю я потерял $z$ в числителе, а также когда функцию домнажал на $(z-a)$ потерял там порядок полюса, потому, что в формуле $(z-a)^m$.

А по поводу ошибок, если их не делать, никогда не научишься :)

P.S. спасибо большое!

[Metford]

Ну, ладно. Ошиблись. Бывает. Ответ всё-таки не хотите привести? Дл верности?