Отношение эквивалентности =

[bayah]

Отношение $R$ называется отношением эквивалентности, если $R$ рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Только как для отношения $=$, например, на множетсве натуральных чисел, можно проверить симметричность и транзитивность, если по-смыслу равенства, какое либо число равно только самому себе?
То есть симметричность и транзитивность удовлетворяются просто потому что они не могут быть нарушены в принципе?
А какой смысл о них вообще говорить тогда применительно к операции $=$?

[Brukvalub]

bayah в сообщении #1273391 писал(а):

А какой смысл о них вообще говорить тогда применительно к операции $=$?

А какой смысл писАть вот такие вопросики:

bayah в сообщении #1273391 писал(а):

То есть симметричность и транзитивность удовлетворяются просто потому что они не могут быть нарушены в принципе?

?
Или есть другие отношения эквивалентности, в которых

bayah в сообщении #1273391 писал(а):

Т.. симметричность и транзитивность.. могут быть нарушены в принципе?

?

[bayah]

Brukvalub в сообщении #1273398 писал(а):

Или есть другие отношения эквивалентности, в которых bayah в сообщении #1273391

писал(а):
Т.. симметричность и транзитивность.. могут быть нарушены в принципе? ?

Я имел ввиду там такие отношения и такие множества где может быть $a \sim b$, но не $b \sim a$, например, для симметричности. То есть там где условие "если" в определении симметричности вообще возможно. Ясно что оно никакое, "если" ни для симметричности не для транзитивности в случае $=$ не выполняется.

Ну да, я понял, что это так же относится к отношению эквивалентности.

[gris]

А что Вас смущает? Из ложной посылки (предположим, что $6=3$) прекрасно следует всё, что угодно (значит, $3=6$). То есть для обычного равенства все три свойства выполняются.
А, например, равенство по модулю подходит со всеми проверками.

[bayah]

gris в сообщении #1273405 писал(а):

Последний раз редактировалось gris
09.12.2017, 17:42, всего редактировалось 1 раз.


А что Вас смущает? Из ложной посылки (предположим, что $6=3$) прекрасно следует всё, что угодно (значит, $3=6$). То есть для обычного равенства все три свойства выполняются.
А, например, равенство по модулю подходит со всеми проверками.

Ну да, ну да. Уже не смущает.)

[Someone]

bayah
Полезно иметь в виду, что мы имеем дело не с самими объектами, а с их именами. И равенство $a=b$ означает, что "$a$" и "$b$" — имена одного и того же объекта. "Одного и того же" в том смысле, что если мы в любом высказывании все вхождения "$a$" заменим на "$b$", то получим высказывание с тем же значением истинности: если одно истинно, то и другое истинно. Для эквивалентных объектов это, вообще говоря, не так.

В частности, мы интерпретируем цифру "$3$" как имя некоторого числа, у которого есть много других имён. Например, "1+1+1" или "\sqrt{9}". А если мы где-то напишем что-нибудь вроде "пусть $a=3$", то "$a$" тоже становится именем того же числа.

[bayah]

Someone в сообщении #1273549 писал(а):

Полезно иметь в виду, что мы имеем дело не с самими объектами, а с их именами. И равенство $a=b$ означает, что "$a$" и "$b$" — имена одного и того же объекта. "Одного и того же" в том смысле, что если мы в любом высказывании все вхождения "$a$" заменим на "$b$", то получим высказывание с тем же значением истинности: если одно истинно, то и другое истинно. Для эквивалентных объектов это, вообще говоря, не так.

А, ну да, $b$ же не обязано быть не тем же самым объектом, что и $a$ в определении свойств отношений эквивалентности.