Число из девяток и единицы

[Ktina]

Десятичная запись натурального числа оканчивается на 1, а все остальные цифры - девятки (причём хотя бы одна девятка есть).
Может ли это число быть точной степенью (т. е. степенью натурального числа с натуральным показателем, превышающим 1)?

[Dmitriy40]

Можно даже шире поставить вопрос, какая цифра может повторяться слева от единственной 1 чтобы число являлось натуральной степенью натурального числа. У меня нашлось лишь два претендента, $441$ и $81$.

[Ktina]

Dmitriy40
Почему именно так?

[Dmitriy40]

Ktina в сообщении #1272467 писал(а):

Почему именно так?

Я не знаю. Использовал калькулятор и проверил прямо, до 10000 знаков. Может есть длиннее. Или мог ошибиться.

[Sonic86]

Ktina в сообщении #1271449 писал(а):

Десятичная запись натурального числа оканчивается на 1, а все остальные цифры - девятки (причём хотя бы одна девятка есть).
Может ли это число быть точной степенью (т. е. степенью натурального числа с натуральным показателем, превышающим 1)?

Зачем упоминать цифры? Это экспоненциально-диофантово уравнение $10^n-3^2=x^k$. По идее должно решаться методами алгебраической теории чисел (где-нибудь в $\mathbb{Z}[\sqrt{10}]$). К сожалению, мне лень.