Конечные абелевы группы

[Anton666]

Здравствуйте. Пытаюсь доказать следующее утверждение, оно кажется довольно общим, но вот идею никак не удаётся придумать: в конечной абелевой группе $G$ подгрупп порядка $k$ всегда столько же, сколько и индекса $k$
Вроде бы понятно, что, во-первых, в конечной А.Г. подгруппы порядка k всегда есть, как только k делит порядок группы, вроде бы понятно, что тут нужно пользоваться теоремой о разложении в прямую сумму циклических и навряд ли чем-то ещё, уж больно общий факт
Но вот как доказывать-неясно
Прошу помочь, натолкнуть на правильную мысль

Lia: Просьба оформлять все формулы, даже состоящие из одного символа. Вот как теперь в первом абзаце.

[iifat]

Чего-то я недопонимаю.

Anton666 в сообщении #1270973 писал(а):

подгрупп порядка k

Здесь $k$ — количество элементов подгруппы, не? То бишь, натуральное число же! А вот тут

Anton666 в сообщении #1270973 писал(а):

сколько и индекса k

$k$ — элемент группы. Это ж разные вещи! Как они могут непременно совпадать?

[provincialka]

iifat в сообщении #1271014 писал(а):

$k$ — элемент группы.

Почему элемент? Может, исходное сообщение было отредактировано? $k$ -- индекс подгруппы, то есть число, равное $|G|/|H|$

[Anton666]

provincialka в сообщении #1271048 писал(а):

iifat в сообщении #1271014 писал(а):

$k$ — элемент группы.

Почему элемент? Может, исходное сообщение было отредактировано? $k$ -- индекс подгруппы, то есть число, равное $|G|/|H|$

Именно так, это и имелось в виду, речь идёт о числе смежных классов, об индексе, иначе говоря

[iifat]

provincialka в сообщении #1271048 писал(а):

$k$ -- индекс подгруппы

Да. Сбой синтаксического анализатора случился.

[vpb]

Что "навряд ли чем-то еще" --- это не так. ... Вот что Вы знаете, допустим, о двойственности линейных пространств?

[Anton666]

vpb в сообщении #1271311 писал(а):

Что "навряд ли чем-то еще" --- это не так. ... Вот что Вы знаете, допустим, о двойственности линейных пространств?

Ну, кое-что знаю, у каждого пространства есть двойственное, изоморфное ему, сопряжённые операторы в двойственнном пространстве получаются из операторов в исходном пространстве транспонированием
Да вот как всю эту теорию к группам то применить

[vpb]

А что еще про двойственность знаете? Перечислите всё (что знаете)! Вот, допустим, что такое канонический изоморфизм между пространством и дважды двойственным к нему? Есть еще некое соответствие между подпространствами в исходном пространстве и подпространствами в двойственном. Какое? А к группам это имеет такое отношение. Нужное Вам утверждение вытекает из теории двойственности для конечных абелевых групп. Она не сложная, но чтобы ее понять, сначала очень желательно разобраться с двойственностью для векторных пространств. (есть более сложная теория двойственности для бесконечных топологических абелевых групп, кстати, но она тут не нужна).