Как раскрыть модуль?

[artey]

Здравствуйте, помогите пожалуйста раскрыть модуль. $\left| {n({e^{\frac{t}{n}}} - 1) - t} \right|$, $\[n \to \infty \]$ , $\[t \in [0,1]\]$. Знаю, что $\[{e^{\frac{t}{n}}} - 1 \sim \frac{t}{n}\]$ при $\[\frac{t}{n} \to 0\]$. Если это применить, то $\[\left| {n\frac{t}{n} - t} \right| = 0\]$. С другой стороны, так как $\[n \to \infty \]$ и $\[t \in [0,1]\]$, то получается $\[\left| {\infty 0 - t} \right|\]$. Что то я запутался, прошу вашей помощи.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[kotenok gav]

artey в сообщении #1265446 писал(а):

то получается $\[\left| {\infty 0 - t} \right|\]$. Что то я запутался, прошу вашей помощи.

Так вы просто раскрыли неопределенность $\infty 0$.

[artey]

Так а как модуль раскрыть?

[mihaild]

Вы знаете понятие непрерывной функции? Если да, то попробуйте посмотреть, где оно здесь применимо.Бред написал (неправильно понял, что нужно)

[ewert]

artey в сообщении #1265488 писал(а):

Так а как модуль раскрыть?

Для этого нужно знать свойства экспоненты -- её выпуклость и касательную в нуле.

[provincialka]

artey в сообщении #1265446 писал(а):

Знаю, что $\[{e^{\frac{t}{n}}} - 1 \sim \frac{t}{n}\]$ при $\[\frac{t}{n} \to 0\]$.

Это равенство можно еще переписать в виде $e^x=1+x+o(x)$. А можете ли вы уточнить это асимптотическое равенство? Хоты бы до $o(x^2)$?

[ewert]

provincialka в сообщении #1265564 писал(а):

А можете ли вы уточнить это асимптотическое равенство? Хоты бы до $o(x^2)$

Хоть даже до икс в трёхсотой -- всё в данном случае бесполезно.

[VPro]

artey в сообщении #1265488 писал(а):

Так а как модуль раскрыть?

Он не мешает. Попробуйте из обоих слагаемых вынести t за скобки. Внутри модуля.

[artey]

Вообщем мне нужно проверить на сходимость последовательность $\[{x_n} = n({e^{\frac{t}{n}}} - 1)\]$ в пространстве $\[C\left[ {0,1} \right]\]$. Поточечный предел $\[{x_0} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n({e^{\frac{t}{n}}} - 1) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n\frac{t}{n} = t\]$ $\[\forall t \in \left[ {0,1} \right]\]$. Далее $\[\left\| {{x_n} - {x_0}} \right\| = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0,1} \right]} \left| {{x_n} - {x_0}} \right| = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0,1} \right]} \left| {n({e^{\frac{t}{n}}} - 1) - t} \right|\]$ Вот как мне его здесь раскрыть? Потому что дальше мне нужно исследовать на экстремум функцию $\[y = n({e^{\frac{t}{n}}} - 1) - t\]$ ,либо $\[y = t - n({e^{\frac{t}{n}}} - 1)\]$ (это же зависит от того,как модуль раскроется). Для первой $\[y' = {e^{\frac{t}{n}}} - 1 \geqslant 0\] $ $\[\forall t \in \left[ {0,1} \right]\]$.Это значит, что функция $\[\left| {{x_n} - {x_0}} \right|\] $ является возрастающей. Для второй $\[y' = 1 - {e^{\frac{t}{n}}} \leqslant 0\forall t \in \left[ {0,1} \right]\]$. Это значит, что функция $\[\left| {{x_n} - {x_0}} \right|\] $ является убывающей.

[VPro]

Тем более не нужно модуль раскрывать: $\left|n\left(\exp(t/n)-1\right)-t\right|=\left| \frac{t^2}{2n}+\frac{t^3}{6n^2}+\dots\right|$ и максимум достигается при $t=\dots$ .

[artey]

VPro в сообщении #1265611 писал(а):

Тем более не нужно модуль раскрывать: $\left|n\left(\exp(t/n)-1\right)-t\right|=\left| \frac{t^2}{2n}+\frac{t^3}{6n^2}+\dots\right|$ и максимум достигается при $t=\dots$ .

$t=\dots$ чему?

[artey]

artey в сообщении #1265605 писал(а):

Вообщем мне нужно проверить на сходимость последовательность $\[{x_n} = n({e^{\frac{t}{n}}} - 1)\]$ в пространстве $\[C\left[ {0,1} \right]\]$. Поточечный предел $\[{x_0} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n({e^{\frac{t}{n}}} - 1) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n\frac{t}{n} = t\]$ $\[\forall t \in \left[ {0,1} \right]\]$. Далее $\[\left\| {{x_n} - {x_0}} \right\| = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0,1} \right]} \left| {{x_n} - {x_0}} \right| = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0,1} \right]} \left| {n({e^{\frac{t}{n}}} - 1) - t} \right|\]$ Вот как мне его здесь раскрыть? Потому что дальше мне нужно исследовать на экстремум функцию $\[y = n({e^{\frac{t}{n}}} - 1) - t\]$ ,либо $\[y = t - n({e^{\frac{t}{n}}} - 1)\]$ (это же зависит от того,как модуль раскроется). Для первой $\[y' = {e^{\frac{t}{n}}} - 1 \geqslant 0\] $ $\[\forall t \in \left[ {0,1} \right]\]$.Это значит, что функция $\[\left| {{x_n} - {x_0}} \right|\] $ является возрастающей. Для второй $\[y' = 1 - {e^{\frac{t}{n}}} \leqslant 0\forall t \in \left[ {0,1} \right]\]$. Это значит, что функция $\[\left| {{x_n} - {x_0}} \right|\] $ является убывающей.

Здравствуйте. Проблема не решилась. Можете подсказать, какую-нибудь оценку выражения $n({e^{\frac{t}{n}}} - 1)$, чтобы понять оно $>t$ или $<t$. Мне просто по заданию нужно раскрыть модуль.

[Sender]

artey, что бы вы могли сказать о знаке такого выражения: $e^x-x-1$?