рекурсия*

[Kornelij]

Подскажите, есть ли способ решать такие рекуррентные уравнения $(k+1)x_{k+2}+{\frac{k^2-1}_{k+2}}x_{k+1}+{\frac{k}_{k^2+1}}x_k=2k-1$ ? Производящие функции не предлагать ;)

[Andrey_Kireew]

Нужны дополнительные условия для двух разных $k$. Если у Вас начальные условия - то решение очевидно, находится прогонкой, если граничные - то составляется СЛАУ и решается удобным способом. Или можно попробовать свести всё к непрерывному ОДУ и решить в общем виде.

[Kornelij]

Andrey_Kireew в сообщении #1268840 писал(а):

Нужны дополнительные условия для двух разных $k$. Если у Вас начальные условия - то решение очевидно, находится прогонкой, если граничные - то составляется СЛАУ и решается удобным способом. Или можно попробовать свести всё к непрерывному ОДУ и решить в общем виде.

Вы говорите о численных методах, а меня интересует аналитический - никакая прогонка не подходит. Последовательность бесконечная и нужно найти общий вид n-го члена. Ясно, что решение должно зависеть от начальных условий, но если таковых нет, то в общем ответе просто будут какие-то константы (как в обычной линейной рекурсии). К дифуру свести не получается.

[Andrey_Kireew]

Может быть и можно, но у меня больше никаких идей не возникает.

[arseniiv]

А почему не предлагать производящие функции? Можно найти производящую функцию последовательности, домноженной на многочлен. Знаменатели рациональных дробей тоже не так уж и неподступны. Хотя можно, конечно, ждать чудесный обходной способ в надежде, что он есть и придёт быстрее, чем можно что-то сделать с задачей уже известными.

[Kornelij]

arseniiv в сообщении #1269376 писал(а):

А почему не предлагать производящие функции? Можно найти производящую функцию последовательности, домноженной на многочлен. Знаменатели рациональных дробей тоже не так уж и неподступны. Хотя можно, конечно, ждать чудесный обходной способ в надежде, что он есть и придёт быстрее, чем можно что-то сделать с задачей уже известными.

Ну просто уже много сил потрачено на этот способ и ничего хорошего не получилось.

[arseniiv]

Ясно. (Хотя это некоторый знак, что вряд ли получится. )