Дифференциальное уравнение с неопределенными коэффицентами

[timas-cs]

Числовые значения не находить.
$y''+2y'+y={e}^{-x}\sqrt{16-x}$
Корни характеристического: 2,2
Общее решение $C_1{e}^{2x}+C_2x{e}^{2x}$
Частное: ${e}^{-x}(Ax+B)$
Правильно?

[Someone]

timas-cs в сообщении #1269263 писал(а):

Корни характеристического: 2,2

Нет.

timas-cs в сообщении #1269263 писал(а):

Общее решение $C_1{e}^{2x}+C_2x{e}^{2x}$

Нет.

timas-cs в сообщении #1269263 писал(а):

Частное: ${e}^{-x}(Ax+B)$

Нет.

timas-cs в сообщении #1269263 писал(а):

Правильно?

Нет.

-- Вс ноя 26, 2017 19:55:31 --

Вы подробнее напишите, как решаете.

[timas-cs]

Someone
${\lambda}^{2}+2\lambda+1=0$
$D=0$
$\lambda_{1,2}=2$
Общее: $y=C_{1}{e}^{2x}+ C_{2}{e}^{2x}x$

[ewert]

timas-cs в сообщении #1269263 писал(а):

Частное: ${e}^{-x}(Ax+B)$

Ладно бы ещё было ${e}^{-x}\sqrt{Ax+B}\cdot x^2$. В этом хоть какая-то логика (пусть и крайне извращённая) просматривалась бы.

Гуглите "метод вариации произвольных постоянных".

-- Вс ноя 26, 2017 22:41:48 --

timas-cs в сообщении #1269359 писал(а):

$\lambda_{1,2}=2$
Общее: $y=C_{1}{e}^{2x}+ C_{2}{e}^{2x}x$

А почему, кстати, два?... Ведь семь -- тоже очень хорошее число.

[timas-cs]

Да, понял. В общем два корня -1
Даже один...

-- 26.11.2017, 22:54 --

Может быть частное
$(A{x}^{2}+Bx){e}^{-x}$?

[Someone]

timas-cs в сообщении #1269365 писал(а):

Даже один...

Это смотря как считать — с кратностью или без. Вам-то как надо считать?

[timas-cs]

Someone
Без

[Someone]

timas-cs в сообщении #1269374 писал(а):

Без

Неверно.

[timas-cs]

Someone
А если с кратностью, то ведь правильно?

[Someone]

timas-cs в сообщении #1269522 писал(а):

А если с кратностью, то ведь правильно?

А если с кратностью — то сколько?

timas-cs в сообщении #1269365 писал(а):

Может быть частное
$(A{x}^{2}+Bx){e}^{-x}$?

А для каких функций в правой части уравнения работает метод неопределённых коэффициентов?

[timas-cs]

Someone
Работает, если справа многочлен, экспоненциальная или тригонометрическая функция.
Два корня.
Получается нужно делать методом вариации постоянных?

[Someone]

timas-cs в сообщении #1269664 писал(а):

Получается нужно делать методом вариации постоянных?

Получается, что так.

[timas-cs]

Someone

${\lambda}^{2}+4\lambda=0$
$\lambda_1=0,\lambda_2=-4$
$y_0=C_1+C_2{e}^{-4x}$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} C'_1+C'_2{e}^{-4x}&=&0 \\ C'_1+C'_2(-4){e}^{-4x}&=&{\tg}^{2}2x \\ \end{array} \right.$$

Дальше вычитаем из второго первое
$-5C'_2{e}^{-4x}={\tg}^{2}2x$
$C'_2=\frac{{\tg}^{2}2xe^{4x}}{-5}$
$C_2=...$

$C'_1+\frac{{\tg}^{2}2xe^{4x}}{-5}{e}^{-4x}=0$
$C'_1=\frac{{\tg}^{2}2x}{5}$
$C_1=...$
$y=C_1+C_2{e}^{-4x}$
Так?

[timas-cs]

Просто меня интегралы смущают. Есть подозрения, что сделал что-то не то.

[Someone]

А уравнение-то Вы не написали.