Поведение последовательности

[loser228]

Рассмотрим две положительные последовательности. Если они эквивалентны при $n\to\infty$, и одна из них является монотонно убывающей в строгом смысле, то будет ли монотонно убывать и вторая ?

[grizzly]

loser228 в сообщении #1267731 писал(а):

Если они эквивалентны при $n\to\infty$, и одна из них является монотонно убывающей в строгом смысле, то будет ли монотонно убывать и вторая ?

Попытайтесь применить один из следующих подходов:
1) Попытаться доказать что будет и если не получится, попытаться построить контрпример, акцентируя внимание на том месте, где не получается доказать.
2) Наоборот, попытаться построить контрпример и если не получится, посмотреть, почему и попытаться продвинуться в доказательстве.
3) Комбинация первых двух.

[loser228]

Да с точки зрения интуиции вроде как видно, что последовательности ведут себя почти "одинаково" на бесконечности, но как показать что следующий член меньше предыдущего не понимаю пока.

[grizzly]

loser228
В ближайшие пару лет, как минимум, не доверяйте интуиции в вопросах бесконечности.
Попытайтесь строить контрпример. Возьмите самую простую последовательность. Попытайтесь её расшатать, но совсем чуть -- только чтобы время от времени нарушалась монотонность.

-- 22.11.2017, 01:38 --

Или вот вопрос. А если взять вторую точно такую, как первую, но первые два члена поменять местами -- уже не монотонная.

[arseniiv]

Да, замена некоторого префикса последовательности на что угодно — кажется, лучший аргумент. Собирался намекать про расшатывание, а до такого сам по себе не додумался.

Хотя если идти прямо от определения эквивалентности бесконечно малых, post hoc кажется, что дойти до него можно механически: последовательности $c_n$ и $c_n + e_n$, где $e_n$ состоит из нулей, начиная с некоторого члена, имеют равные пределы (или не имеют их вместе), а теперь берём в качестве $c_n$ отношение двух интересующих и вносим $e_n$ в числитель.

[ewert]

grizzly в сообщении #1267749 писал(а):

А если взять вторую точно такую, как первую, но первые два члена поменять местами -- уже не монотонная.

arseniiv в сообщении #1267752 писал(а):

дойти до него можно механически: последовательности $c_n$ и $c_n + e_n$, где $e_n$ состоит из нулей,

Это не годится -- это фактически одинаковые последовательности.

Между тем контрпримерится всё вполне очевидным образом. Ведь строгость монотонности может быть сколь угодно слабой. Возьмём за основу последовательность монотонную, но нестрого на сколь угодно удалённых участках (кажем, у которой каждая следующая пара членов состоит из одинаковых чисел). И т.д.

[arseniiv]

ewert в сообщении #1268079 писал(а):

Это не годится -- это фактически одинаковые последовательности.

ТС проверяет утверждение «если $x_n\sim y_n$ при $n\to\infty$ и $x_n$ строго монотонно убывает, то монотонно убывает и $y_n$». Его следствие — «если $y_n = x_n + e_n$, $e_n$ имеет свойство, определённое выше, $x_n\sim y_n$ при $n\to\infty$ и $x_n$ строго монотонно убывает, то монотонно убывает и $y_n$», и оно, очевидно, опровержимо конкретным примером grizzly, так что опровержимо и исходное.

[grizzly]

Да ладно спорить, задача-то была не в том, чтобы дать максимально точный и правильный ответ. Задача как раз стояла в обратном -- как минимально возможным воздействием пошатнуть уверенность ТС в своей интуиции. Это действие (борьба с интуицией) является наиболее трудным в таких задачах, а само решение после победы в борьбе обычно намного проще и его-то как раз подсказывать не нужно.

[ewert]

grizzly в сообщении #1268282 писал(а):

Задача как раз стояла в обратном -- как минимально возможным воздействием пошатнуть уверенность ТС в своей интуиции.

Так ведь история болезни показывает, что интуиция ТС состояла вовсе не в этом:

loser228 в сообщении #1267746 писал(а):

с точки зрения интуиции вроде как видно, что последовательности ведут себя почти "одинаково" на бесконечности,

Т.е. ТС вполне понимает, что в вопросах сходимости, эквивалентности и т.д. начальные участки не имеют никакого значения. И озадачивался явно не этим.

[grizzly]

ewert
Это я прекрасно понял. И потому сначала предложил расшатывать всюду, до бесконечности:

grizzly в сообщении #1267749 писал(а):

Попытайтесь её расшатать, но совсем чуть -- только чтобы время от времени нарушалась монотонность.

Но потом всё же решил, что эта подсказка чисто техническая, а для борьбы с интуицией будет полезнее та, другая.