Парадокс кинетической энергии катящегося тела

[reterty]

Многим хорошо известны физические парадоксы, возникающие как следствие ограниченности физических моделей. Вот Вам еще один парадокс, который мне разрешить не удается.
Пусть имеется тело вращения с фиксированной массой $m$ и некоторым характерным радиусом вращения $r$. Предположим вначале, что это тело катится с проскальзыванием
по горизонтальной поверхности со скоростью движения центра масс $\upsilon$. При этом угловая скорость вращения равна $\omega$. Тогда полная кинетическая энергия тела, равная сумме
энергий поступательного и вращательного движения $W_k=\frac{m\upsilon^2}{2}+\alpha \omega^2 r^2$, где $\alpha$- коэффициент, зависящий от распределения масс тела относительно оси вращения. При $r \to 0$ (материальная точка) второе слагаемое
становится пренебрежимо малым по сравнению с первым и вся кинетическая энергия связана с поступательным движением. Если же тело движется без проскальзывания ($\upsilon=\omega r$), то
$W_k=\frac{m\upsilon^2}{2}+\alpha m \upsilon^2$ и предельный переход к модели материальной точки не может быть осуществлен, т.е. отношение энергий остается постоянным. Его можно осуществить, записав последнее выражение в виде:
$W_k=\frac{m\omega^2 r^2}{2}+\alpha \omega^2 r^2$, где $\alpha$, но тогда при $r \to 0$ "занулятся" оба слагаемых........
Налицо очередной парадокс.

[WithoutName]

reterty

(Оффтоп)

Странно рассматривать материальную точку как вращающееся твердое тело

[reterty]

WithoutName в сообщении #1266192 писал(а):

reterty

(Оффтоп)

Странно рассматривать материальную точку как вращающееся твердое тело

материальная точка-это тт, обладающее лишь поступательными степенями свободы, а здесь для нее ПП не выполняется,
точнее не выполняется для случая чистого качения (для качения с проскальзыванием все ок)

[Erleker]

А что же насчет поведения $\omega$?

[EUgeneUS]

reterty
Вам нужно срочно ознакомиться с понятием момента инерции. Что это такое и какой буквой обозначается.
Кроме того, Вам нужно срочно освежить понятие материальная точка.

[reterty]

Erleker в сообщении #1266195 писал(а):

А что же насчет поведения $\omega$?

считаем что предельный переход осуществляется при постоянной угловой скорости

[mihaild]

reterty в сообщении #1266197 писал(а):

считаем что предельный переход осуществляется при постоянной угловой скорости

А что тогда происходит со скоростью?

[reterty]

EUgeneUS в сообщении #1266196 писал(а):

reterty
Вам нужно срочно ознакомиться с понятием момента инерции. Что это такое и какой буквой обозначается.
Кроме того, Вам нужно срочно освежить понятие материальная точка.

Не торопитесь с выводами...... и в формулах через $\alpha$ уже учтено понятие момента инерции (для шара $\alpha=2/5$)

[arseniiv]

reterty в сообщении #1266190 писал(а):

........

Очевидно, проблема в том, что ваши два предельных перехода на самом деле по разным базам и в общем случае к разным точкам, вот значения пределов и не обязаны совпадать. У вас есть плоскость (или полуплоскость, не важно) $(v,r)$, и в первом случае вы подходите к, к тому же, произвольной точке $(v,0)$ по направлению $(0,-1)$, а во втором — к $(0,0)$ по направлению $(-\omega,-1)$. Итого, если в первом случае положить $v = 0$, получится тоже ноль — ничего парадоксального — а если не полагать, то никакого парадокса и не было.

-- Сб ноя 18, 2017 00:24:04 --

(По-моему, кроме этой математической совершенно наивной ошибки там больше ничего и нет, физика вообще ни при чём.)

[EUgeneUS]

arseniiv в сообщении #1266202 писал(а):

физика вообще ни при чём

Не при чем, кроме того, что рассматривая м.т, мы пренебрегаем вращательным движением. А как мы можем им пренебречь, если угловая скорость бесконечна?

[reterty]

mihaild в сообщении #1266198 писал(а):

reterty в сообщении #1266197 писал(а):

считаем что предельный переход осуществляется при постоянной угловой скорости

А что тогда происходит со скоростью?

Верно. Угловая скорсть должна неограниченно возрастать при фиксированной линейной и уменьшающемся радиусе. Но тогда отношение кинетических энергий постоянно и предельный переход не выполняется. Видимо, такой предельный переход можно выполнять лишь при конечной угловой скорости

[arseniiv]

EUgeneUS
Про бесконечную, вроде, ничего не говорилось. По крайней мере, мне казалось, что в исходном посте $\omega$ — постоянная. И в первом случае $v$ тоже постоянная, а во втором нет, что и приводит к путанице и неверному заключению о парадоксе.

Да, я там про предел по направлению терминологически какую-то глупость сказал, но, надеюсь, все поняли, что имеется в виду, и в любом случае важнее то, что в первом случае есть произвол выбора, в какой точке мы смотрим предел, и только одна из них совпадает с той, в которой предел берётся во втором случае.

[reterty]

arseniiv в сообщении #1266210 писал(а):

EUgeneUS
Про бесконечную, вроде, ничего не говорилось. По крайней мере, мне казалось, что в исходном посте $\omega$ — постоянная. И в первом случае $v$ тоже постоянная, а во втором нет, что и приводит к путанице и неверному заключению о парадоксе.

Да, я там про предел по направлению терминологически какую-то глупость сказал, но, надеюсь, все поняли, что имеется в виду, и в любом случае важнее то, что в первом случае есть произвол выбора, в какой точке мы смотрим предел, и только одна из них совпадает с той, в которой предел берётся во втором случае.

Да, в условии необходимо было фиксировать лишь линейную, но не угловую скорость

[arseniiv]

Тогда переформулируйте. У вас первая $W_k$ всё равно зависит от $v,\omega,r$, а вторая от $\omega,r$. Хорошо, вторую можно будет переписать как функцию $v,r$, но с первой ничего нового не появится. То же самое, вид с другого боку.

Вот есть функция трёх переменных $v,\omega,r$ и рассматриваются весьма разные её пределы. Разные значения этих пределов, когда они вообще существуют, как-то не очень парадоксальны.

[fred1996]

При радиусе стремящемся к нулю угловой момент превращается..., момент угловой превращается..., превращается угловой момент в

(.)

спин