Построить критерий Неймана-Пирсона

[diana_nana]

Дан случайный нормальный вектор $\xi$=($\xi_{1}$,...,$\xi_{r}$), имеющий при гипотезе $H_{i}$ распределение $N(\mu_{i}, A), i=1,2$. Общая ковариационная матрица А невырождена. Построить критерий Неймана-Пирсона для различения гипотезы $H_{1}$ при альтернативе $H_{2}$, а также критерий, минимизирующий сумму вероятностей ошибок.

1) Функция отношения правдоподобия выглядит следующим образом:
$l(x)=$\exp$(x^{T}a+d)$, $a$ и $d$ - константы.
Лемма Неймана-Пирсона утверждает, что наиболее мощный критерий с уровнем значимости $\varepsilon$ можно искать среди критериев вида:

$$\begin{cases} 1,&\text{если $l(x)>c$;}\\ p,&\text{если $l(x)=c$;}\\ 0,&\text{если $l(x)<c$.} \end{cases}$$

Константы находятся из условия: $P_{1}(Z>c)+pP_{1}(Z=c)=\varepsilon, Z=l(x)$.
Но с.в. $Z$ непрерывна при первой гипотезе, поэтому $P_{1}(Z=c)=0$. Как в таком случае выбрать константы и построить критерий?

2) Необходимо построить такой критерий, чтобы минимизировать сумму вероятностей ошибок, т.е.

$$\int\limits_{\Omega_{1}}^{}L_{1}(x)dx+1-\int\limits_{\Omega_{1}}^{}L_{2}(x)dx\to \min$$

Здесь, кажется, нужно выбрать область $\Omega_{1}=\left\lbrace x:L_{1} \leq L_{2} \right\rbrace$, но как это доказать и, собственно, построить критерий?

[--mS--]

Кто такое $\mathrm{x}$? Как оно связано с $\xi_1,\ldots,\xi_r$? Это выборка из многомерного распределения?

diana_nana в сообщении #1265782 писал(а):

Как в таком случае выбрать константы и построить критерий?

Как и написано, $c$ таково, что вероятность ошибки первого рода равна $\varepsilon$. Никакого $p$ нет (или берите любое, хоть $0$ или $1$). Например, $1$:

$$ \pi_c(\mathrm{x})=\begin{cases} 1, & \text{если } \mathrm{x}^Ta\geqslant c, \cr 0 & \text{иначе}.\end{cases} $$

Далее находите вероятность нормальной случайной величине $\mathrm{x}^Ta$ быть больше либо равной $c$, приравниваете к $\varepsilon$ и получаете $c$. Всё, критерий построен.

diana_nana в сообщении #1265782 писал(а):

Здесь, кажется, нужно выбрать область $\Omega_{1}=\left\lbrace x:L_{1} \leq L_{2} \right\rbrace$, но как это доказать и, собственно, построить критерий?

Всё уже доказано до нас. А.А.Боровков "Математическая статистика", второй параграф третьей главы, первый пункт первой теоремы. Критерий Вами уже построен.