Момент инерции кривой

[Key27]

Найти момент энерции $I_0$ кривой $L$:${x}^{\frac{2}{3}}+{y}^{\frac{2}{3}}={a}^{\frac{2}{3}}; p=1$ В учебнике написано, что нужно делать через $I_0=\int\limits_{L}^{}({x}^{2}+{y}^{2})dl$ и, если кривая заданна явно, значит $dl=\sqrt{1+{y'}^{2}}dx$ Почему?

И еще вопрос. Как определить начальную и конечную точку кривой $L$ по которой нужно интегрировать
$\int\limits_{L}^{}({x}^{\frac{4}{3}}+{y}^{\frac{4}{3}})\sqrt{1+{y'}^{2}}dx$

[Pphantom]

Key27 в сообщении #1265022 писал(а):

В учебнике написано, что нужно делать через $I_0=\int\limits_{L}^{}({x}^{2}+{y}^{2})dl$ и, если кривая заданна явно, значит $dl=\sqrt{1+{y'}^{2}}dx$ Почему?

Первое - по определению момента инерции. Второе - а как выглядит выражение для длины малого участка кривой?

Key27 в сообщении #1265022 писал(а):

И еще вопрос. Как определить начальную и конечную точку кривой $L$ по которой нужно интегрировать

Подумайте, как эта кривая выглядит.

[Key27]

Pphantom

Pphantom в сообщении #1265024 писал(а):

Key27 в сообщении #1265022 писал(а):

В учебнике написано, что нужно делать через $I_0=\int\limits_{L}^{}({x}^{2}+{y}^{2})dl$ и, если кривая заданна явно, значит $dl=\sqrt{1+{y'}^{2}}dx$ Почему?

Первое - по определению момента инерции. Второе - а как выглядит выражение для длины малого участка кривой?

Key27 в сообщении #1265022 писал(а):

И еще вопрос. Как определить начальную и конечную точку кривой $L$ по которой нужно интегрировать

Подумайте, как эта кривая выглядит.

Понял, откуда они это берут. Это из $\sqrt{{dx}^{2}+{dy}^{2}}$

Pphantom в сообщении #1265024 писал(а):

Key27 в сообщении #1265022 писал(а):

В учебнике написано, что нужно делать через $I_0=\int\limits_{L}^{}({x}^{2}+{y}^{2})dl$ и, если кривая заданна явно, значит $dl=\sqrt{1+{y'}^{2}}dx$ Почему?

Первое - по определению момента инерции. Второе - а как выглядит выражение для длины малого участка кривой?

Key27 в сообщении #1265022 писал(а):

И еще вопрос. Как определить начальную и конечную точку кривой $L$ по которой нужно интегрировать

Подумайте, как эта кривая выглядит.

Это астроида $x$ и $y$ меняются от $-a$ до $a$. Поэтому рассматривать двойной интеграл $\int\limits_{-a}^{a}({x}^{2}+{y}^{2})\sqrt{1+{y'}^{2}}dx$?

[Pphantom]

Key27 в сообщении #1265027 писал(а):

Понял, откуда они это берут. Это из $\sqrt{{dx}^{2}+{dy}^{2}}$

Именно так.

Key27 в сообщении #1265027 писал(а):

Это астроида $x$ и $y$ меняются от $-a$ до $a$. Поэтому рассматривать двойной интеграл $\int\limits_{-a}^{a}({x}^{2}+{y}^{2})\sqrt{1+{y'}^{2}}dx$?

Можно и так, умножив получившийся результат на два, но можно и заметить, что кусочек в каждом квадранте выглядит одинаково, так что можно интегрировать от $0$ до $a$, а потом умножить результат на $4$.

P.S. Только не надо все цитировать по два раза. Если нужно вставить цитату, выделите в нужном сообщении соответствующий участок и нажмите кнопку "Вставка" ниже этого сообщения.

[Key27]

Pphantom

Спасибо большое!