Вычислить массу однородной дуги

[Key27]

Дуга:
$x=a{\cos}^{3}t$
$y=a{\sin}^{3}t;$ при $0\leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2}$
Тк дуга однородная, то $p=1$. Вычислял по формуле $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{{x'}^{2}+{y'}^{2} }dt$
$x'=-3a{\cos}^{2}t \sin t$
$y'=3a{\sin}^{2}t \cos t$
Получается, что этот интеграл равен 0. Правильно ли это?

[svv]

Проверьте внимательно $y'$.
В интеграле знак корня не должен накрывать $dt$.
Постарайтесь обрамлять ровно двумя знаками доллара каждую формулу, но не текст. Тэг math система поставит автоматически.

[Key27]

svv
Ой, извиняюсь. Опечатка вышла.

[Lia]

Дуга однородная - это плотность постоянная. И меня бы смутила нулевая масса.

[svv]

И что, например, под корнем получается?

[Someone]

Key27 в сообщении #1264788 писал(а):

Получается, что этот интеграл равен 0.

Как получается-то? Напишите. Хотя у меня есть обоснованное предположение, что косяк связан с извлечением квадратного корня.

[ewert]

Someone в сообщении #1264802 писал(а):

у меня есть обоснованное предположение, что косяк связан с извлечением квадратного корня

Нет, там ведь всего-навсего четверть периода.

[Key27]

под корнем получается
$\sqrt{9{a}^{2}{\cos}^{4}t{\sin}^{2}t+9{a}^{2}{\sin}t^{4}{\cos}^{2}t}$
Если сократить на $\sqrt{{\sin}^{2}t{\cos}^{2}t}$ получаем
$\sqrt{9{a}^{2}({\cos}^{2}t+{\sin}^{2}t)}$ то есть корень из $9{a}^{2}$

[Someone]

Key27 в сообщении #1264808 писал(а):

Если сократить на $\sqrt{{\sin}^{2}t{\cos}^{2}t}$

ewert в сообщении #1264806 писал(а):

Нет, там ведь всего-навсего четверть периода.

Правда. Я не обратил внимания. Тогда получение нуля выглядит совсем загадочно. И даже "сокращение" не помогает.

[Key27]

Согласен, ерунда. Но как это делать понятнее не стало.

[svv]

И, после этих преобразований, что получается под интегралом?

[Key27]

svv

Уже не уверен в правильности, но у меня получилось
$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{9{a}^{2}}=3at$ То есть опреденный интеграл будет равен $\frac{3\pi\sqrt{{a}^{2}}}{2}$

[Someone]

Key27 в сообщении #1264815 писал(а):

Уже не уверен в правильности, но у меня получилось
$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{9{a}^{2}}=3at$

А Вы формулу Ньютона—Лейбница видели?

Key27 в сообщении #1264808 писал(а):

Если сократить на $\sqrt{{\sin}^{2}t{\cos}^{2}t}$

Собственно, как это Вы сократили? Вы считаете, что после "сокращения" получилось выражение, которое в точности равно исходному? Как, например, при сокращении дроби: $\frac{ac}{bc}=\frac ab$?

[svv]

Сначала я подумал, что автор под сокращением понимает вынесение множителя из-под знака корня, оказалось, что он действительно на него сократил.

[Key27]

Someone в сообщении #1264819 писал(а):

Key27 в сообщении #1264815 писал(а):

Уже не уверен в правильности, но у меня получилось
$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{9{a}^{2}}=3at$

А Вы формулу Ньютона—Лейбница видели?

Key27 в сообщении #1264808 писал(а):

Если сократить на $\sqrt{{\sin}^{2}t{\cos}^{2}t}$

Собственно, как это Вы сократили? Вы считаете, что после "сокращения" получилось выражение, которое в точности равно исходному? Как, например, при сокращении дроби: $\frac{ac}{bc}=\frac ab$?

Ну да, видел.

Окей, возвращаюсь назад.
$9{a}^{2}{\sin}^{2}t{\cos}^{2}t({\sin}^{2}t+{\cos}^{2}t)=9{a}^{2}{\sin}^{2}t{\cos}^{2}t$ Надеюсь, что хоть это правильно. Тогда интеграл будет примерно таким $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{9{a}^{2}{\sin}^{2}t{\cos}^{2}t}=3 \sqrt{{a}^{2}}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin t\cos t=\frac{3\sqrt{{a}^{2}}}{2}$