Задача с подвижными концами

[apolonka222]

$ \int _0^T \dot x^2 dt -> \min $, при $ x(0)=0 , T+x(t) + 1= 0$
Помогите разобраться, Есть ли ошибка в ходе решения, и как его завершить.($\lambda_0= 1$, так как при $\lambda_0= 0$ => $\lambda_{1,2}= 0$

1) нахожу уравнение Эйлера, получаю
$2\ddot x =0$

$\dot x = c_1$

$x = c_1t + c_2$

2) затем условие трансверсальности

$ 2\dot x(0) = \lambda_1 $
$2\dot x(T) = -\lambda_2 }$

3) условие стационарности

$\Lambda_T(T) = \dot x^2(T) + \lambda_2(1+ \dot X(T) ) + \lambda_2 (\dot X(T)) = \dot x^2(T) + \lambda_2(1+ 2 \dot X(T) )$

Далее, не совсем ясно что надо делать. я выписал систему уравнений, но она мне почти ничего не дала
$2\dot x(T)= -\lambda_2 $
$ \dot x^2(T) + \lambda_2(1+ 2 \dot X(T) ) = 0$

Подскажите что надо сделать дальше пожалуйста

[svv]

apolonka222 в сообщении #1264103 писал(а):

$T+x(t) + 1= 0$

Поясните, что здесь означает буква $t$. Ну, или исправьте на правильно.

[apolonka222]

svv в сообщении #1264172 писал(а):

apolonka222 в сообщении #1264103 писал(а):

$T+x(t) + 1= 0$

Поясните, что здесь означает буква $t$. Ну, или исправьте на правильно.

Имелось ввиду $T+x(T) + 1= 0$. Спасибо, что заметили опечатку.
P.S. с $X, x$ я тоже опечатался. Всё это маленькие иксы)

[svv]

1) Итак, $x=c_1 t +c_2$. Учтите условие $x(0)=0$.
2) Уравнение $2\dot x(0) = \lambda_1$ Вам не понадобится — оно лишь позволит найти множитель Лагранжа $\lambda_1$, который не входит ни в какие другие условия.
3) Проверьте внимательно условие стационарности.

[apolonka222]

svv в сообщении #1264216 писал(а):

1) Итак, $x=c_1 t +c_2$. Учтите условие $x(0)=0$.
2) Уравнение $2\dot x(0) = \lambda_1$ Вам не понадобится — оно лишь позволит найти множитель Лагранжа $\lambda_1$, который не входит ни в какие другие условия.
3) Проверьте внимательно условие стационарности.

1-2) пункты понятны. константа $c_2 = 0$
3) пункт не совсем ясен, вроде внимательно посмотрел условие стационарности
$\Lambda _T(T) =f(T) + l_T + + l_{x(T)}\dot x(T)$
отсюда $l_T = \lambda_2(T+x(T) +1)' $ по T => $l_T = \lambda_2(1+ \dot x(T)) $
$l_{x(T)} = \lambda_2(T+x(T) +1)' $ по $x(T)$ => $l_{x(T)} =\lambda_2 $ =>
$l_{x(T)}\dot x(T)= \lambda_2 \dot x(T)$
$\Lambda _T(T) =\dot x^2(T)+ \lambda_2(1+ \dot x(T)) +\lambda_2 \dot x(T) = \dot x^2(T)+ \lambda_2(1+ 2\dot x(T)) $
В чем ошибка?

[Red_Herring]

А что, $T$ постоянная (тогда никаких "подвижных" концов нет) или переменная (тогда самое простое рассмотреть $x(t)= c_1t\implies c_1= -(T+1)/T$, посчитать значение функционала (будет $(T+1)^2/T$), и минимизировать по $T$)?

[Brukvalub]

Red_Herring в сообщении #1264253 писал(а):

А что, $T$ постоянная (тогда никаких "подвижных" концов нет) или переменная

Разумеется, второе.

[svv]

apolonka222 в сообщении #1264251 писал(а):

вроде внимательно посмотрел условие стационарности
$\Lambda _T(T) =f(T) + l_T + + l_{x(T)}\dot x(T)$
отсюда $l_T = \lambda_2(T+x(T) +1)' $

Ах, вот в чём дело. Ну да, у Вас были причины так подумать.

Обозначим $X=x(T)$. Мы требуем, чтобы для подвижной правой границы выполнялось условие $\varphi(T, X)=T+X+1=0$. При этом $X$ является функцией $T$. В такой ситуации есть две разные производные $\varphi$ по $T$:
$\bullet$ частная производная $\frac{\partial\varphi}{\partial T}$: Вы считаете $T$ и $X$ независимыми переменными, и находите производную по $T$ при постоянном $X$;
$\bullet$ полная производная $\frac{d\varphi}{dT}$: Вы учитываете и непрямую зависимость $\varphi$ от $T$ — через $X(T)$.
Полная производная связана с частной так:
$\frac{d\varphi}{dT}=\frac{\partial\varphi}{\partial T}+\frac{\partial\varphi}{\partial X}\frac{dX}{dT}$
В вариационном исчислении встречаются и частная, и полная производная.

В Вашем случае по контексту требовалась частная производная по $T$, Вы нашли полную.

[apolonka222]

svv в сообщении #1264295 писал(а):

apolonka222 в сообщении #1264251 писал(а):

вроде внимательно посмотрел условие стационарности
$\Lambda _T(T) =f(T) + l_T + + l_{x(T)}\dot x(T)$
отсюда $l_T = \lambda_2(T+x(T) +1)' $

Ах, вот в чём дело. Ну да, у Вас были причины так подумать.

Обозначим $X=x(T)$. Мы требуем, чтобы для подвижной правой границы выполнялось условие $\varphi(T, X)=T+X+1=0$. При этом $X$ является функцией $T$. В такой ситуации есть две разные производные $\varphi$ по $T$:
$\bullet$ частная производная $\frac{\partial\varphi}{\partial T}$: Вы считаете $T$ и $X$ независимыми переменными, и находите производную по $T$ при постоянном $X$;
$\bullet$ полная производная $\frac{d\varphi}{dT}$: Вы учитываете и непрямую зависимость $\varphi$ от $T$ — через $X(T)$.
Полная производная связана с частной так:
$\frac{d\varphi}{dT}=\frac{\partial\varphi}{\partial T}+\frac{\partial\varphi}{\partial X}\frac{dX}{dT}$
В вариационном исчислении встречаются и частная, и полная производная.

В Вашем случае по контексту требовалась частная производная по $T$, Вы нашли полную.

Спасибо. Теперь всё встало на свои места. Спасибо