Уравнение движения системы

[Treunos]

Доброго времени суток, подскажите пожалуйста, как записать ДУ, описывающее движение системы, состоящей из 2х тележек с массами $m_1$ и $m_2$ соответственно, соединённых пружиной жёсткости $k$ и амартизатором с коэффициетом затухания $\alpha$. Также на тележки оказывается сторонняя тянущая сила $F$.
Насколько я понимаю, должно получиться ДУ второго порядка относительно $x_1(t)$ и $x_2(t)$.
Нагуглить, как решается такого рода задача, я не смог. На ум приходит записать уравнение Лагранжа 2 рода, но я с теормехом на "ВЫ" и не очень понимаю, как это сделать в данном случае. Мне кажется, что здесь можно обойтись и без привлечения аппарата теоретической механики.
Одна тележка, насколько я понимаю, описывалась бы как пружинный маятник:
$mx'' + \alpha x' + kx = F(x)$,
быть может это можно безболезненно обобщить на случай большего числа тележек?

[Pphantom]

Treunos в сообщении #1262930 писал(а):

быть может это можно безболезненно обобщить на случай большего числа тележек?

Можно, только надо аккуратно выписать зависимость сил, действующих на каждую тележку, от координат и скоростей тележек.

P.S. И не надо оформлять штрихи как верхние индексы - они без этого получаются как раз такими, как нужно.

[Treunos]

Цитата:

И не надо оформлять штрихи как верхние индексы - они без этого получаются как раз такими, как нужно.

Поправил, спасибо.

-- 07.11.2017, 00:33 --

Вот картинку нарисовал, чтобы уточнить, о чём речь идёт.

[svv]

Теперь надо для каждой тележки записать второй закон Ньютона: сумма всех сил равна ...

[Treunos]

svv, для первой получается, вроде
$ kx_1(t) - \alpha x'_1(t) = m_1 x_1''(t) $,
а для второй
$ -kx_2(t) + \alpha x'_2(t) + F(t) = m_2 x_2''(t)$.

[Pphantom]

Treunos в сообщении #1262966 писал(а):

для первой получается, вроде

Сила упругости, действующая на тележку, зависит не от положения именно этой тележки, а от расстояния между тележками. С амортизатором ситуация аналогична.

[fred1996]

Для двух тележек эта задача имеет достаточно стандартное "школьное" решение.
1. Если на систему действует внешняя постоянная сила, можно сосчитать постоянное ускорение центра тяжести системы.
2. Переходим в неинерциальную систему ЦМ. Появляются две фиктивные постоянные силы.
И задача сводится к синхронному колебанию тележек относительно ЦМ.
3. Остается написать уравнение колебания одной из тележек на приведенной части пружины.

Если тележек больше двух, задача решается стандартными средствами теормеха с помощью методов линейной алгебры. То есть находятся N-1 главных мод (частот ). Если есть затухание, это означает, что частоты получатся комплексными. Вещественная часть которых ответственна за колебание, а мнимая за затухание.

[Treunos]

Pphantom, если я правильно понял, то получается как - то так?
$ \begin{cases} m_1x_1''(t) = k (x_2(t) - x_1(t)) - \alpha (x_2(t) - x_1(t))',\\ m_2x_2''(t) = F(t) - k (x_2(t) - x_1(t)) + \alpha (x_2(t) - x_1(t))'. \end{cases} $

[Pphantom]

Treunos в сообщении #1262975 писал(а):

если я правильно понял, то получается как - то так?

Да.

[Treunos]

Pphantom, большое спасибо.