Матвеев А.Н. Механика и ТО формула (35.27)

[antonio.troitsky]

У матвеева в механике и ТО имеется конечная формула, в которой не совсем понятно преобразование.

Изначально было

$$\frac{d^2y}{dz^2}=\frac{e}{mv}B(z)$$

В итоге получается уравнение

$$y(z_0) = (e/mv)*b$$

, где

$$b = \int\limits_{0}^{z_0}d\xi\int\limits_{0}^{\xi}B(\eta)=\int\limits_{0}^{z_0}(z_0-\eta) B(\eta) d\eta $$

Как получилось второе преобразование?

[Pphantom]

Недавно было нечто аналогичное, см.тему «Двойной интеграл».

[antonio.troitsky]

У меня возник еще один вопрос по этому уравнению.

$$\frac{d^2y}{dz^2} = \frac{e}{mv}B(z)$$

После двойного интегрирования этого уравнения. Должно появиться слагаемое $C_1(z-z_0)$

$$\frac{dy}{dz} = \frac{e}{mv} \int\limits_{z_0}^{z}B(\eta)d\eta + C_1$$

$$y(z) = \frac{e}{mv} \int\limits_{z_0}^{z}\left\lbrace\int\limits_{z_0}^{z}B(\eta)d\eta\right\rbrace d\xi + C_1(z-z_0) + C_2$$

Не совсем понятно куда пропали эти констатнты. Граничные условия не были заданы.

https://drive.google.com/file/d/0B9083eC8xCxZTmphdWZJUkpPczg/view?usp=sharing Это линк с моего гугл диска для этой книги.

-- 05.11.2017, 23:41 --

Pphantom в сообщении #1262299 писал(а):

Недавно было нечто аналогичное, см.тему «Двойной интеграл».

Спасибо за помощь. Подсказка с интегрированием по частям оказалась полезной.

[Pphantom]

antonio.troitsky в сообщении #1262555 писал(а):

После двойного интегрирования этого уравнения. Должно появиться слагаемое $C_1(z-z_0)$

Вы выберите что-нибудь одно - или расстановку пределов интегрирования, или константы интегрирования. И то, и другое сразу - это слишком много.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Ну и вообще поехали сюда. До сего момента физический смысл уравнений никакой роли в обсуждении не играл, так что к физике это отношения не имеет.

[antonio.troitsky]

Pphantom в сообщении #1262565 писал(а):

antonio.troitsky в сообщении #1262555 писал(а):

После двойного интегрирования этого уравнения. Должно появиться слагаемое $C_1(z-z_0)$

Вы выберите что-нибудь одно - или расстановку пределов интегрирования, или константы интегрирования. И то, и другое сразу - это слишком много.

Вчера искал подоного рода литературу и нашел тут ответ: http://edu.sernam.ru/book_p_math2.php?id=19
Может я уже что-то забыл. Что вы имеете в виду?

[Pphantom]

antonio.troitsky в сообщении #1262572 писал(а):

Вчера искал подоного рода литературу и нашел тут ответ: http://edu.sernam.ru/book_p_math2.php?id=19

Может я уже что-то забыл. Что вы имеете в виду?

Так ведь подстановка после интегрирования на нижнем пределе тоже будет давать какую-то константу, которую совершенно незачем выделять, если только это не несет какой-то физический смысл. И наоборот, если есть начальные условия (а они у Вас есть, см. 35.22) можно обойтись нижним константным и верхним переменным пределами интегрирования, не выписывая часть с константами явно.

[antonio.troitsky]

Pphantom в сообщении #1262577 писал(а):

antonio.troitsky в сообщении #1262572 писал(а):

Вчера искал подоного рода литературу и нашел тут ответ: http://edu.sernam.ru/book_p_math2.php?id=19

Может я уже что-то забыл. Что вы имеете в виду?

Так ведь подстановка после интегрирования на нижнем пределе тоже будет давать какую-то константу, которую совершенно незачем выделять, если только это не несет какой-то физический смысл. И наоборот, если есть начальные условия (а они у Вас есть, см. 35.22) можно обойтись нижним константным и верхним переменным пределами интегрирования, не выписывая часть с константами явно.

Спасибо, я Вас понял. Не подскажите, почему тогда в учебниках по дифурам пишут таким образом? В смысле там подставляют и пределы интегрирования и пишут константы.

[Pphantom]

antonio.troitsky в сообщении #1262582 писал(а):

Спасибо, я Вас понял. Не подскажите, почему тогда в учебниках по дифурам пишут таким образом? В смысле там подставляют и пределы интегрирования и пишут константы.

Не берусь сказать, возможно, подскажет кто-нибудь из математиков. В качестве гипотезы могу предположить, что подобная запись может быть удобной при конструировании решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами как суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного. Ошибки-то в этом нет, просто подобная запись является избыточной.

[Someone]

Смысл этой записи в том, что определённый интеграл с переменным верхним пределом определяет одну из первообразных, а если нам нужны "все", то прибавляем произвольную постоянную. При этом нижний предел интегрирования считается фиксированным, то есть, это не ещё одна произвольная постоянная. При этом удобно в качестве нижнего предела интегрирования брать именно ту точку, в которой заданы начальные условия. Тогда значения произвольных постоянных определяются очень легко.

Если первообразная ограничена, то возможность менять нижний предел интегрирования недостаточна для получения всех первообразных.

[antonio.troitsky]

Pphantom в сообщении #1262586 писал(а):

Не берусь сказать, возможно, подскажет кто-нибудь из математиков. В качестве гипотезы могу предположить, что подобная запись может быть удобной при конструировании решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами как суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного. Ошибки-то в этом нет, просто подобная запись является избыточной.

Someone в сообщении #1262592 писал(а):

Смысл этой записи в том, что определённый интеграл с переменным верхним пределом определяет одну из первообразных, а если нам нужны "все", то прибавляем произвольную постоянную. При этом нижний предел интегрирования считается фиксированным, то есть, это не ещё одна произвольная постоянная. При этом удобно в качестве нижнего предела интегрирования брать именно ту точку, в которой заданы начальные условия. Тогда значения произвольных постоянных определяются очень легко.

Если первообразная ограничена, то возможность менять нижний предел интегрирования недостаточна для получения всех первообразных.

Спасибо за помощь!

[Pphantom]

Someone в сообщении #1262592 писал(а):

Если первообразная ограничена, то возможность менять нижний предел интегрирования недостаточна для получения всех первообразных.

Да, согласен. Собственно, наверное, надо было написать, что использование только нижнего предела (если его можно менять) удобно в ситуации, когда начальные условия в задаче Коши нулевые.