Задачка из треугольника Паскаля

[Roger]

Рассмотрим треугольник Паскаля в таком виде:

1   1   1   1   1   1   1   1   1   1
1   2   3   4   5   6   7   9   10
1   3   6   10  15  21  28  36
1   4   10  20  36  56  84
1   5   15  35  70  126
1   6   21  56  126
1   7   28  84   
1   8   36
1   9
1

Пусть значения чисел первой строки есть $x^0$, значения чисел второй строки - есть $x^1$

Необходимо вычислить значения $n$-ной строки как функцию различных степеней $x$, где степени $x$ не превышают $n-1$ .

Пример для третьей строки: значения в третьей строке будут определяться формулой: $\frac{x^2+x}{2}$

Необходимо найти аналогичные формулы для последующих строк или получить общую формулу для произвольной строки.

Ну ладно, решения я не знаю, вернее когда-то, еще в школе, вроде бы выводил его, о чем остались смутные воспоминания, но теперь что-то не срастается. Прошу перенести в раздел ПРР.

Вижу, что сумма элементов $n$-ной строки до $k$-го элемента включительно равна $k$-му элементу $n+1$-й строки, не пойму как это использовать, гуглёж ничего не дал, видимо не могу грамотно сформировать запрос. Гуглил: "Треугольник Паскаля", "Представление значений биномиальных коэффициентов в виде полиномов", "Закономерности в Треугольнике Паскаля". Надеюсь кто-нибудь направит мою мысль в нужную сторону.

[arseniiv]

Roger
[code] вам в помощь, с подчёркиваниями выглядит ужасъно.

Roger в сообщении #1262287 писал(а):

Необходимо найти аналогичные формулы для последующих строк или получить общую формулу для произвольной строки.

Для загадок эта тема, если честно, плохо подходит. Может, всё-таки в ПРР, а?

[Roger]

arseniiv в сообщении #1262290 писал(а):

Для загадок эта тема, если честно, плохо подходит. Может, всё-таки в ПРР, а?

А вдруг я знаю решение? )

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Загадки, головоломки, ребусы» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- в самом деле стоит воспользоваться либо тэгом для кода, либо сделать таблицу;
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи (или гугления - решение известно, кажется, с XII века).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Yadryara]

Roger в сообщении #1262287 писал(а):

Надеюсь кто-нибудь направит мою мысль в нужную сторону.

Если хотите вывести формулы самостоятельно, конечные разности Вам в помощь...

[Roger]

Разности между чем и чем? Вроде бы наоборот, суммы или и суммы и разности степеней, да еще на что-то деленные.

[Yadryara]

Термин "конечные разности" прекрасно гуглится. А больше я подсказывать не рискну, ибо нельзя.

[Otta]

Roger
Раз уж Вы сумели нагуглить "треугольник Паскаля", то прочитать, из чего он состоит, нетрудно. И каким символом это самое обозначается. Берете в руку карандашик и аккуратно надписываете, на каком месте и что расположено. После заполнения нескольких строчек/столбцов вопросы должны отпасть.

(Оффтоп)

И сугубо личное мнение: задавать вопросы такого уровня на форуме - почти то же, что помочь просить решить здесь уравнение $x+3=5$. Даже ПРР для него много.

[Roger]

Otta
Треугольник Паскаля я не нагуглил, а вывел из одной интересной задачи и знаю, что он состоит из биномиальных коэффициентов, но как решать- не пойму. Просто впал в какой-то ступор.

Мне нужно выражение для значений строки через степени $x$. Точно помню, что я их подбирал в детстве до 5-й строки. А дальше не помню, обобщил формулу или нет. Но сейчас мне эта формула понадобилась. Но что-то не заладилось у меня с ней.

И что подписывать карандашиком тоже не пойму
И простите, такой вот я тугодум.

[Otta]

Roger в сообщении #1262287 писал(а):

Гуглил: "Треугольник Паскаля",

Из песни слова не выкинешь.

Roger в сообщении #1262339 писал(а):

и знаю, что он состоит из биномиальных коэффициентов

Ну вот и отлично. И записывайте то, что в треугольнике именно через коэффициенты. Этого более чем достаточно, можно выпадать из ступора.

[Roger]

Так в том и суть, что мне не нужно через коэффициенты. А нужно через полиномы. Я же это в условии вроде бы указал.

[Otta]

Коэффициенты - тоже полиномы, не?

[arseniiv]

Кстати говоря, мультиномиальные коэффициенты (чьим частным случаем будут биномиальные) иногда называются полиномиальными. Вот и связь.

[Roger]

Otta в сообщении #1262345 писал(а):

Коэффициенты - тоже полиномы, не?

Вот я и не понимаю, как они выражаются через полиномы. Знаю только как через сочетания.
Да и вообще задача в другом, как мне кажется состоит. У меня для каждого столбца определен конкретный $x$, который стоит на пересеченииэтого столбца и второй строки. И мне нужно через этот x выразить остальные значения, стоящие в столбце.