Равноостаточность. Из теории чисел

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Решаю задачу: У числа $N=2^{2012} $ нашли сумму его цифр, у результата снова нашли сумму цифр и так далее. В конце концов получилось однозначное число. Найдите его.
Если правильно понимаю, $2^{2012} \equiv S \pmod 9$ , где: $S$ - сумма цифр числа $N$ и $S<9$ , т.е. $S$ - это и есть то самое число, которое ищем.
Тогда: $2^{2012}=(2 ^4)^{503} \equiv 7^{503} \pmod 9 = 49 \cdot 7^{501} \equiv 4 \cdot (7^3)^{167} \pmod 9 \equiv 4 \cdot 1 = 4$ . Но ответ в задачнике другой $7$, подскажите где ошибка?

[Dmitriy40]

Почему $\mod 9$, а не $10$? Однозначное число может быть и девяткой.

[gris]

Получается $4$. А вот через два года, в 2014, будет $7$.

[Stensen]

Dmitriy40 в сообщении #1261605 писал(а):

Почему $\mod 9$, а не $10$? Однозначное число может быть и девяткой.

По $\mod 9$ брал, чтобы использовать свойство равноостаточности числа и суммы его цифр при делении на $9$. Или я не понял подсказку?

[grizzly]

Stensen в сообщении #1261604 писал(а):

Тогда: $2^{2012}=(2 ^4)^{503} \equiv 7^{503} \pmod 9 = 49 \cdot 7^{501} \equiv 4 \cdot (7^3)^{167} \pmod 9 \equiv 4 \cdot 1 = 4$

Всё верно. Но Вы не ищете лёгких путей
$2^{2012}=4\cdot (9-1)^{2010/3}$

[Stensen]

gris в сообщении #1261609 писал(а):

Получается $4$. А вот через два года, в 2014, будет $7$.

grizzly в сообщении #1261613 писал(а):

Всё верно. Но Вы не ищете лёгких путей
$2^{2012}=4\cdot (9-1)^{2010/3}$

Всем спасибо, осознал, полегчало.

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

Stensen в сообщении #1261612 писал(а):

Или я не понял подсказку?

Нет, походу это я не понял откуда вообще взялось такое условие равноостаточности, если в исходной формулировке ничего подобного нет и сумма цифр вполне могла бы равняться и 9. Со степенью двойки повезло, сумма не может быть 9, но с другим основанием такой финт не пройдёт.

[Dmitriy40]

Хм, а существуют вообще такие $a$, что последовательность сумм $S_n=\sum a^n, n>1$ (где суммирование понимается в смысле выше: суммирование цифр десятичной записи, потом пока сумма больше 9 повтор разложения в десятичную запись и суммирования цифр) не является периодичной? Что-то программка выдаёт лишь периоды $(0), (1), (9), (1,8), (1,4,7), (7,4,1), (1,2,4,8,7,5), (5,7,8,4,2,1)$ и всё. Подозрительно! Выходит запомнив несколько периодов и пару правил какой когда - можно в уме решать задачи из стартового сообщения?

[RIP]

Dmitriy40 в сообщении #1261636 писал(а):

можно в уме решать задачи из стартового сообщения

Разумеется. $S_n$ однозначно определяется условиями $S_n\equiv a^n\pmod{9}$, $1\leqslant S_n\leqslant 9$. При этом если $a$ не делится на $3$, то $a^6\equiv1\pmod9$, так что $S_{n+6}=S_{n}$. Если же $a$ делится на $3$, то $S_n=9$ при $n\geqslant2$.