О разных базисах

[student1138]

Добрый день. Помогите пожалуйста устранить путаницу в голове относительно базисов векторного пространства.

Рассмотрим в $\mathbb{R}^n$ стандартный базис $e_1, ..., e_n$ и линейное отображение $A$, переводящее этот базис в базис $a_1, ..., a_n$. Координаты вектора $a_1$ в базисе $a_1, ..., a_n$ равны $[1, 0, ..., 0]$. Вопрос равны ли друг-другу векторы $e_1$ и $a_1$? С одной стороны нет - преобразование ведь изменило вектор $e_1$. С другой стороны оба вектора $e_1, a_1$ принадлежат $\mathbb{R}^n$ и оба записываются одинаковой строкой $[1, 0, ..., 0]$ т.е. по определению равенства векторов в $\mathbb{R}^n$ - равны.

Еще такой вопрос. "Стандартный базис" - он какой-то один абсолютный или нет? Перепишем координаты каждого из векторов $a_1, ..., a_n$ в этом же базисе. Получим $a_1 = [1, 0, ..., 0], a_2 = [0, 1, ..., 0], ...$, т.е. вроде бы опять получаем стандартный базис. Теперь выразим координаты всех векторов пространства в этом базисе. И получим что все они опять выражаются через стандартный базис но только он теперь другой. Как понять в каком из "стандартных базисов" записаны координаты вектора?

Например возьмем какой-то вектор $x = [x_1, ..., x_n]$. Можно ли сказать что он "ни в каком базисе"? А если сказать что он записан в стандартном базисе, но откуда мы знаем что это за базис? Может это $e_1, ..., e_n$, а может это $a_1, ..., a_n$.

-- 01.11.2017, 10:38 --

В связи с чем вопросы. Слушаю лекцию где ищут матрицу оператора $[A]$ в другом базисе $P$. И находят ее - это $P^{-1}AP$. Я тупо не могу понять что значит "оператор в другом базисе" или "матрица оператора в другом базисе". Технически вывод формулы $P^{-1}AP$ понимаю а по сути - нет.

[Dmitriy40]

student1138 в сообщении #1261099 писал(а):

С другой стороны оба вектора $e_1, a_1$ принадлежат $\mathbb{R}^n$ и оба записываются одинаковой строкой $[1, 0, ..., 0]$ т.е. по определению равенства векторов в $\mathbb{R}^n$ - равны.

Это неверно, строка может и одна и та же, но вот единицы измерения (или базисы) у этих двух строк - разные. Пример: массу конечно можно записать и как 1 тонна, и как 1 килограмм, но от этого они не станут одинаковыми, несмотря на одинаковость записи (и то и то ровно $[1]$).

-- 01.11.2017, 10:44 --

Не знаю насколько это полезно, но для примера можно представить себе базис как оси координат с отмеченными единичными отрезками (ортами). И тогда проекции любого вектора на две разные системы координат будут разными, т.е. один и тот же вектор будет записываться разными числами в разных базисах. Ну а преобразование $A$ - пересчёт записи из одного базиса (системы координат) в другой.

[Someone]

student1138 в сообщении #1261099 писал(а):

Например возьмем какой-то вектор $x = [x_1, ..., x_n]$. Можно ли сказать что он "ни в каком базисе"?

Нельзя. Такая запись — это сокращение, которое употребляется в тех случаях, когда базис фиксирован (не меняется). А полная запись имеет вид $x=x_1a_1+x_2a_2+\ldots+x_na_n$.

Что касается $\mathbb R^n$, то по определению это есть множество упорядоченных $n$-ок $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$, и "стандартный" базис — это тот самый базис, в котором координаты совпадают с элементами этой самой $n$-ки.

[student1138]

Что же по сути означает "матрица оператора в другом базисе"? И еще посмотрел учебник - строгого определения равенства векторов в $\mathbb{R}^n$ не нашел. Какие векторы называются равными в $\mathbb{R}^n$?

[Xaositect]

student1138 в сообщении #1261137 писал(а):

Что же по сути означает "матрица оператора в другом базисе"?

Есть оператор, есть два базиса. В каждом базисе у оператора своя матрица. Дана матрица оператора в одном базисе, надо найти матрицу оператора в другом базисе.

-- Ср ноя 01, 2017 10:06:35 --

student1138 в сообщении #1261137 писал(а):

И еще посмотрел учебник - строгого определения равенства векторов в $\mathbb{R}^n$ не нашел. Какие векторы называются равными в $\mathbb{R}^n$?

Векторы в $\mathbb R^n$ - это упорядоченные $n$-ки. Упорядоченные $n$-ки равны тогда и только тогда, когда все соответствующие компоненты равны ($(x_1, \dots, x_n) = (y_1, \dots, y_n) \Leftrightarrow \forall i \in \{1, \dots, n\}\colon x_i = y_i$)

[Dmitriy40]

Xaositect в сообщении #1261143 писал(а):

Упорядоченные $n$-ки равны тогда и только тогда, когда все соответствующие компоненты равны ($(x_1, \dots, x_n) = (y_1, \dots, y_n) \Leftrightarrow \forall i \in \{1, \dots, n\}\colon x_i = y_i$)

Простите, но Вы откровенно противоречите фразе выше:

Someone в сообщении #1261121 писал(а):

Такая запись — это сокращение, которое употребляется в тех случаях, когда базис фиксирован (не меняется). А полная запись имеет вид $x=x_1a_1+x_2a_2+\ldots+x_na_n$.

Т.е. и для $x_i$ и для $y_i$ должен использоваться обязательно одинаковый базис, иначе равенства не будет даже при совпадении $x_i=y_i$.

[Xaositect]

Dmitriy40 в сообщении #1261144 писал(а):

Т.е. и для $x_i$ и для $y_i$ должен использоваться обязательно одинаковый базис, иначе равенства не будет даже при совпадении $x_i=y_i$.

Тут действительно может быть некоторая путаница из-за того, как записывают координаты, но если разобраться в том, что именно мы сравниваем, то все станет ясно.
По определению, $\mathbb R^n$ состоит из упорядоченных $n$-ок дейстивительных чисел, и сравниваются они именно так, как я написал.
Путаница состоит в том, что если мы выберем в $n$-мерном пространстве любой базис, то у любого вектора в этом базисе есть $n$ координат, которые тоже принято записывать как $n$-ку действительных чисел.
Важно, что координаты зависят и от вектора, и от базиса. То есть, если есть вектор $x$ и базис $A = (a_1, \dots, a_n)$, то однозначно набор координат $(x_1, \dots, x_n)$ такой, что $x = \sum x_i a_i$. Я буду обозначать $(x_1, \dots, x_n) = C_A(x)$.
Если взять конкретно $\mathbb R^n$, то в нем есть стандартный базис $E = (e_1, \dots, e_n)$, где $e_i$ - это $n$-ка с единицей на $i$-м месте, и нулями на всех остальных. И конкретно для этого базиса верно, что $C_E(x) = x$.
Если же мы рассматриваем не стандартный базис, а какой-то другой базис $A$, то $C_A(x)$ и $x$ - это разные наборы чисел. И надо понимать, что если $C_A(x) = y$, то это не значит, что $x$ как вектор в $\mathbb R^n$ равен $y$. Это значит, что набор координат $x$ в базисе $A$ равен набору координат $y$ в базисе $E$. Векторы равны, если у них одинаковые координаты в одном и том же базисе, а здесь базисы разные.

[Dmitriy40]

Одним словом, "я забыл добавить что речь про один единственный стандартный базис" (или просто одинаковый). Т.е. ровно то, что и так сказал выше Someone.

[provincialka]

Можно ещё ввести разную терминологию. У вектора $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ числа $x_k$ можно назвать компонентами (компонентами строки). В то же время, имея базис, можно найти координаты вектора. В стандартном базисе координатами являются компоненты, но только в стандартном.

Векторы равны, если их компоненты совпадают. Или -- если совпадают их координаты в некоем (одном и том же!) базисе.

[student1138]

Я тут немного порассуждал, и вроде у меня получилось то что нужно.

Итак, что вообще значит "матрица оператора в базисе" и почему в другом базисе она должна выглядеть по-другому? Я отвечаю на этот вопрос так: пусть $X$ - какой-то вектор в стандартном базисе, а $X'$ - этот же вектор после перехода к другому базису $P$. Пусть $X_a$ - вектор после действия оператора $A$. Т.е. $AX = X_a$. А в другом базисе пусть на $X'$ действует какой-то неизвестный оператор $A'$, т.е. $A'X' = X'_a$.

Тогда чтобы этот неизвестный оператор $A'$ был на самом деле "оператором $A$ в базисе $P$" нужно чтобы результат его действия на вектор $X'$ после возвращения в исходный базис, совпал с результатом действия оператора $A$ на вектор $X$.

Как известно, координаты вектора $X$ при смене базиса на $P$ можно рассчитать так: $X' = P^{-1}X$. Соответственно, для перехода обратно в исходный базис $X = PX'$.
Теперь мы хотим чтобы вектор $X'_a$ после перехода в исходный базис равнялся вектору $X_a$. Т.е. чтобы выполнялось равенство $PX'_a = X_a$. То есть $PA'X' = AX$. Но $X' = P^{-1}X$ отсюда $PA'P^{-1}X = AX$. Теперь осталось понять какая должна быть матрица $A'$ чтобы то что слева равнялось тому тчо справа. Очевидно $A = P^{-1}AP$

-- 01.11.2017, 16:05 --

И по форме этой матрице видна логика ее работы: сначала мы вектора из "другого" базиса возвращаем в исходный (домножением на $P$), там действуем на них оператором $A$ и опять возвращаем в "другой" базис домножением на $P^{-1}$. Довольно логично.

[Slav-27]

student1138
Принято думать, что "вектор" -- это "первичный" ("геометрический") объект, а его координатный столбец в каком-то базисе -- это "его вид с выбранной нами точки зрения" ("точка зрения" -- это выбор базиса).

Если мы говорим именно об $\mathbb R^n$, то там есть некоторый стандартный базис. Если мы говорим просто об "$n$-мерном вещественном векторном пространстве", то всё то же самое, но стандартного базиса нет. В абстрактном определении векторного пространства (это то, где 8 аксиом) не содержится никакого указания на наличие стандартного базиса, соответственно, все аксиомы формулируются без его использования. Соответственно, все "геометрические" утверждения о векторах векторного пространства можно формулировать и доказывать, не подразумевая наличие стандартного базиса. В дальнейшем я нигде наличие особенного стандартного базиса не подразумеваю.

Что такое базис $n$-мерного векторного пространства? Это просто какие-то $n$ линейно независимых векторов $\mathbf e_1, ..., \mathbf e_n$. Можно доказать, что любой вектор $\mathbf a$ однозначно раскладывается по базису в виде суммы $a^1\mathbf e_1+...+a^n\mathbf e_n$. (Это следствие из аксиом векторного пространства, соответственно, для доказательства этого утверждения не нужно наличие стандартного базиса.) Если выбрать другой базис $\mathbf e'_1, ..., \mathbf e'_n$, то, по этой теореме, получим другое разложение вектора $\mathbf a$: $\mathbf a=a'^1\mathbf e'_1+...+a'^n\mathbf e'_n$. Кроме того, можно разложить векторы нового базиса по старому: $\mathbf e'_1=t^1_1\mathbf e_1+t^2_1\mathbf e_2+...+t^n_1\mathbf e_n$, ..., $\mathbf e'_n=t^1_n\mathbf e_1+t^2_n\mathbf e_2+...+t^n_n\mathbf e_n$.

У нас, таким образом, получилось 2 столбца, $a_e=\begin{pmatrix}a^1\\a^2\\...\\a^n\\\end{pmatrix}$ и $a_{e'}=\begin{pmatrix}a'^1\\a'^2\\...\\a'^n\\\end{pmatrix}$, и матрица $T_{e\to e'}\begin{pmatrix}t^1_1 & t^1_2 & ... & t^1_n\\ t^2_1 & t^2_2 & ... & t^2_n \\...\\t^n_1 & t^n_2 & ... & t^n_n\\\end{pmatrix}$. Можно доказать, что $a_e=T_{e\to e'}a_{e'}$. Обратите внимание, что $\mathbf a$ -- это вектор произвольного $n$-мерного векторного пространства, которым мы занимались изначально, а $a_e$ -- это столбце из $\mathbb R^n$, который появился только когда мы начали рассматривать базис.

Аналогично определяется "абстрактный" линейный оператор, которому, после выбора базиса, соответствует матрица этого оператора. Разумеется, если выбирать базис по-разному, то одному и тому же оператору будут соответствовать разные матрицы.

Оказывается, что бывает очень полезно различать абстрактный вектор и его координатный столбец в каком-то базисе, линейный оператор и его матрицу в каком-то базисе.

С точки зрения, которую я описал (и которая общепринята в математике), ваш предыдущий пост очень плохой.

-- 02.11.2017, 16:30 --

Это тут уже (в том или ином виде) по нескольку раз написали, но почему-то не доходит до вас...

[provincialka]

student1138 в сообщении #1261255 писал(а):

пусть $X$ - какой-то вектор в стандартном базисе, а $X'$ - этот же вектор после перехода к другому базису $P$.

То есть как? Базис-то другой, но вектор -- тот же. Координаты только другие.

[Walker_XXI]

provincialka в сообщении #1261599 писал(а):

student1138 в сообщении #1261255 писал(а):

пусть $X$ - какой-то вектор в стандартном базисе, а $X'$ - этот же вектор после перехода к другому базису $P$.

То есть как? Базис-то другой, но вектор -- тот же. Координаты только другие.

А очень просто. Во всём этом вопросе неразбериха связана с изоморфизмом $n$-мерных линейных векторных пространств над полем $\mathbb{R}$ и векторного пространства $\mathbb{R}^n$. Иногда их удобно отождествлять, а иногда это естественное отождествление только запутывает.

У автора вопроса символом $X'$ обозначен образ исходного вектора при упомянутом естественном изоморфизме после замены базиса.