Линейное неоднородное 2 степени.

[Lia]

Что с теми неоднородными уравнениями, что с этими, ситуация одинакова:
- нужно знать общий вид частного решения (в нем присутствуют константы, определяемые уравнением, и только поэтому он общий. Догадываться до него не стоит, разве что Вы знаете дифуры - а Вы сказали, что нет),
- подставить в уравнение,
- найти константы методом неопределенных коэффициентов.

Общий вид приведен в том источнике, ссылка на который выше.

[Ananashero]

Итак, еще раз напишу, что я умею делать.

Исходное возвратное уравнение $a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=n$

Пишем х.у. $t^2-3t+2=0, t_1=1, t_2=2$. значит общее решение $a_n=C_1+C_22^n+f(n)$.

Ищем $f(n)$ в виде $f(n) = kn+b$, получается $k(n+2)+b - 3(k(n+1) +b)+2(kn+b)=n$.
Получаю $-k=n.$ Не понимаю, что это значит. Конец.

Уважаемые формучане, спасибо, что пытаетесь мне помочь, но я вас не понимаю.
Вы можете написать решение данного примера? Если это так просто, почему никто не может его выписать?
Люди бывают разной математической подготовки. И обращение за помощью необходимо уважать, а не писать, мол вот 40 страниц текста, разбирайтесь, там все просто и понятно. Не просто и не понятно.

[Lia]

Ananashero в сообщении #1260549 писал(а):

Ищем $f(n)$ в виде $f(n) = kn+b$,

Почему в таком?

(Оффтоп)

Ananashero в сообщении #1260549 писал(а):

Если это так просто, почему никто не может его выписать?

Потому что правилами форума запрещено давать полные решения. А все, что нужно, у Вас уже есть. Осталось напрячься самую малость.

[Someone]

Ananashero в сообщении #1260535 писал(а):

Простите, не случалось.

Нет — значит нет.
Чему равен неоднородный член? Какой степени в нём многочлен? Какое значение $t$ (или $\lambda$, как его обозначают в указанной Вам презентации) ему соответствует? Является ли это значение корнем характеристического уравнения? Если является, то какой кратности? Что в указанной Вам презентации сказано о виде частного решения?

[Ananashero]

Ну вот здесь более-менее понятно написано.
https://studfiles.net/preview/4189768/page:4/

Действительно, многочлен первой степени, единица является корнем х.у., поэтому надо искать $a_n$ в виде $a_n=n(C_3+C_4n)$

подставляя в $a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n+n$, находим $C_3=\frac{1}{2}, C_4=-\frac{1}{2}$

Тогда общее решение $a_n=C_1+C_2\cdot2^n+\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}n^2$, откуда при $a_0=1, a_1=5$
: $C_1=-3, C_2=4$

Но, к сожалению, оно не подходит. У меня ведь член при n=2 равен 13. а по формуле получается 12.

[Lia]

Ananashero
Вы начальные условия разве где-то указали?

А, теперь указали, вижу. Ну дык ошибка в знаке при подсчете коэффициентов частного решения.

[svv]

Ananashero в сообщении #1260615 писал(а):

в виде $a_n=n(C_3+C_4n)$
подставляя в $a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n+n$, находим $C_3=\frac{1}{2}, C_4=-\frac{1}{2}$

Перепроверьте $C_3$.

[Ananashero]

Да, $C_3=-\frac{1}{2}$

Но это же формула суммы последовательности натуральных чисел от 1 до n! только, почему-то с минусом.

Итого $a_n=5\cdot2^n-4-\frac{1}{2}n(n+1)$
все получилось!

[svv]

Вы проверьте подстановкой, что это действительно решение.
И не только найденное частное, но и общее.