Решение уравнения теплопроводности

[AVV]

Как можно решить уравнение теплопроводности с данными начальными условиями:

$$ u_t = u_{xx}, \qquad u|_{t=0} = x e^{-x^2} $$

?

Я понимаю, что, в принципе, можно было бы искать решение в виде ряда по $t$ с коэффициентами, являющимися функциями от $x$. Но здесь неприятные функции получаются. Кажется, что должен быть способ отличный от этого.

[amon]

Про функцию Грина что-нибудь слышали? С её помощью ответ пишется в одну строчку. (У Вас, как я понял, задача на полупрямой).

[AVV]

Ну так. Слышал. Есть подозрение, что подразумевается поиск решения без функций Грина (это задача из задачника и не из окрестности функций Грина).

Если под полупрямой подразумевается, что ищется решение при $t > 0$, то да. $x$ всю прямую пробегает.

[Metford]

Хм. Вам решить уравнение нужно или метод продемонстрировать?..
Есть ещё вариант на любителя: преобразование Лапласа плюс преобразование Фурье. А потом выкручивать всё обратно, решив получившееся элементарное уравнение. Хороший рецепт, как убить половину вечера, если делать это всё в первый раз.

[amon]

Metford в сообщении #1260072 писал(а):

преобразование Лапласа плюс преобразование Фурье.

Если на всей прямой (по $x$), то без Лапласа можно обойтись. Делается Фурье по $x$, решается получившееся ОДУ, проводится обратное преобразование. Все интегралы берутся, уравнение решается.

[Metford]

amon в сообщении #1260074 писал(а):

Если на всей прямой (по $x$), то без Лапласа можно обойтись.

Конечно. Но пусть у ТС будет выбор. Тем более пока неясно, в каком же разделе задачника находится это уравнение...

[svv]

Функция Грина — это, фактически, готовое решение для начального условия вида $u(x, t_0)=e^{-x^2}$. Добившись подбором констант совпадения, продифференцируем функцию по $x$. Полученная функция тоже будет решением уравнения теплопроводности, а при $t_0$ будет равна, с точностью до постоянного множителя, чему надо.

[AVV]

Metford в сообщении #1260072 писал(а):

Вам решить уравнение нужно или метод продемонстрировать?..

Второе. Желательно, наиболее элементарный.

amon в сообщении #1260074 писал(а):

Делается Фурье по $x$, решается получившееся ОДУ, проводится обратное преобразование. Все интегралы берутся, уравнение решается.

А вот это мысль! По идее, для начальных условий, хорошо поддающихся преобразованиям Фурье: экспонент, синусов, должно хорошо работать.

svv, вашу мысль не понял. В частности, в каком смысле, функция Грина это, крубо говоря, решение для НУ типа $e^{-x^2}$.

[svv]

AVV в сообщении #1260081 писал(а):

Второе. Желательно, наиболее элементарный.

В таком случае, мой способ не подойдёт — он хоть и совершенно элементарный, но заточен под конкретное начальное условие, то есть это не общий метод.