Делимость целых чисел

[Stensen]

Всем доброго времени суток. Уважаемые помогите разобраться. Решаю задачу: Докажите, что если: $ (2^n - 2) \, \vdots \, n$, то: $(2^{2^n - 1} - 2) \, \vdots \, (2^n - 1) $.

Если сделать замену: $2^n - 1 = k$ , тогда: из: $ (2^k - 2) \, \vdots \, k $ , для: $k=2^n - 1$ следует $(2^{2^n - 1} - 2) \, \vdots \, (2^n - 1) $.

Вроде все просто? или я чего-то не понимаю?

[mihaild]

Вам дано, что $(2^n - 2) \vdots n$. Аналогичного утверждения для $k$ у вас нет.

[slavav]

Вас просили доказать $\forall n (2^n - 2) \vdots n \Rightarrow (2^{2^n - 1} - 2) \vdots (2^n - 1) $.
Вы доказали что $(\forall m (2^m - 2) \vdots m) \Rightarrow (\forall k (2^{2^k - 1} - 2) \vdots (2^k - 1)) $.
В вашем случае вы доказали утверждения для двух переменных под кванторами. Исходная задача была для одной.
Ваше доказательство тривиально так как $\forall m (2^m - 2) \vdots m$ неверно. Например для $m = 6$.

[VAL]

Подсказка:
Если $\frac a2$ кратно $b$, то и $a$ кратно $b$.

[Sonic86]

Stensen, у Вас левая и правая части из условия "переезжают" в показатели. Можно строить доказательство исходя из этого.

[Stensen]

Вроде понял. Т.к.

$(2^n - 2) \, \vdots \, n$ , то: $2^n - 2 = q \cdot n, \, q\in \mathbb{Z}$ , тогда:

$2^{2^n - 1} - 2= 2(2^{2n-2}-1) = 2(2^{qn}-1)= 2((2^n)^q-1^q) = $ по формуле сокращенного умножения :

$ = (2^n-1)(2^{n-1}+ \dots + 1) = (2^n-1) \cdot p, \, p \in \mathbb{Z}$ , очевидно делится на: $ 2^n-1 $ .

Все ли верно?

[slavav]

Да, всё верно.

[Stensen]

Всем спасибо

[VAL]

slavav в сообщении #1256021 писал(а):

Да, всё верно.

Если не считать, что в одном месте $n$ из показателя упало.