Преподаватель даёт студенту

[Ktina]

Преподаватель даёт студенту листок с четырьмя попарно различными числами и просит студента записать на чистой доске сначала четыре данных числа, затем все их возможные суммы по два различных слагаемых, затем - по три, а в конце – сумму всех четырёх слагаемых. Если при этом какое-то число оказалось записанным на доске несколько раз, то одно из этих одинаковых чисел оставляют на доске, а остальные стирают. Какое количество чисел может быть записано на доске в результате этих действий? Найти все возможные варианты и доказать, что других нет.

[gris]

Максимального количества добиться несложно, если взять числа попарно несовместимые в каком-то смысле. Например, $R(1,2,4,8)=15$.
Минимальное количество не может быть меньше четырёх, четыре не может быть, а пять достигается $R(-1,0,1,2)=5$

[SVD-d]

Вначале показалось, что 14 вариантов быть не может, потому что они должны быть попарно различны. Но потом понял, что комбинация $(1,2,4,7)$ приводит к 14 вариантам. А $(1,2,4,6)$ - к 13-ти. Прослеживается очевидная последовательность, кажется что количество комбинаций упирается в сумму минимального набора чисел, "попарно несовместимых в каком-то смысле" :)

[gris]

Тут вопрос: а не натуральны ли числа? Если есть ноль, то заведомо стирается семь чисел. С отрицательными легко получить варианты от пяти до восьми чисел. Так же легко видны варианты от десяти до пятнадцати. Вот разве что девять...
Прижатый рогатиной, выдаю, почему не может остаться четырёх чисел. Потому что они уже записаны и разные. И среди четырёх обязательно есть два ненулевых одного знака. И их сумма обязана равняться какому-то из четырёх. А сумма этих трёх... А этих четырёх? А можно посмотреть на сумму двух максимальных либо минимальных однознаковых чисел.

А вот SVD-d привёл пример с девятью. Значит, больше доказывать нечего

Правда, ТС отличается большим коварством. Не удивлюсь, если воспоследует заявление, что все начальные числа простые

[SVD-d]

С отрицательными до девяти: $(-1, 1, 2, 4)$.

[Ktina]

gris в сообщении #1255342 писал(а):

Тут вопрос: а не натуральны ли числа?

...

Правда, ТС отличается большим коварством. Не удивлюсь, если воспоследует заявление, что все начальные числа простые

Обычно, когда пишут просто слово "числа", не конкретизируя, то имеют в виду вещественные. Мне кажестя, ответ не изменится, если вещественные заменить на целые. Ну а натуральные и простые - уже из другой оперы.