На смерть Воеводского

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1253552 писал(а):

Ну я помню, но то что Ext двойственнен к $K$-теории, т.е. что есть точная последовательность
$0 \to ext(K^0(X),\mathbb{Z}) \to Ext(X) \to Hom(K^1(X),\mathbb{Z}) \to 0$
само по себе круто очень ведь (и существенно используется в доказательстве), более простые техники, даже если они есть, скорее всего ухудшили бы доказательство, а не улучшили.

Топологически здесь в принципе не может быть ничего глубже двойственности Александера для замкнутых множеств на плоскости.

Ну, кстати, на вопрос

kp9r4d в сообщении #1253197 писал(а):

Хм, а вот аналог спектральной теоремы для существенно нормального оператора на гильбертовом пространстве - это анализ или алгебра?

В данном случае топология. По анализу задача в каком-то смысле профакторизована, это то, что от неё осталось после того, как весь анализ был изгнан.

Изгонять что-либо из чего-то, в принципе, очень полезно, но иногда (как и в данном случае) остаётся слишком мало.

[maximav]

george66 в сообщении #1252357 писал(а):

Воеводский, надо сказать, быстро отошёл в сторону, не будучи специалистом в этой области, но его уже не надо было. Сорок человек вместе написали книжку (HoTT). Дальше больше, в своих документах они это называют "основания математики 21-го века". И тут Воеводский, с присущей ему оригинальностью, взял да и умер. Предсказываю, что HoTT теперь съёжится до умеренных размеров, а все основатели математики 21-го века уберутся туда, откуда родились

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1253193 писал(а):

Также глупо, наверное, звучит, когда алгебраисты пытаются сделать "мировую революцию" в анализе

Честно говоря, по прочтении интервью Воеводского, при всем уважении к нему возникают все-таки вопросы типа "не поехала ли крыша у него?". Это фраза, кстати, не моя, а одного моего коллеги, который как раз теорией типов интересуется. На всякие проекты о математических революциях "отодвинуть теорию множеств" может и можно смотреть нейтрально и миролюбиво с самого начала, но как только делаем шаг в "сторону жизни" от формальной логики, то сразу появляется вопрос: а с чем, собственно говоря, начнем работать на низком уровне? Я имею в виду, что при работе, скажем в какой-нибудь алгебраической геометрии мы можем, поднатужившись, замкнуть рассуждения, не прибегая к ZFC. Но это все, и ему подобное, больно уж далеко от низкоуровневых примитивов. И если уж сдвигать основания математики, то сдвигать придется, грубо говоря, вообще наши возможности начать произносить осмысленные математические словосочетания. "имеем нечто", "сотворим с ним что-то" и т.д. Иначе, первый вопрос, в связи с этим, таков: а как вообще можно начать говорить/формализовать вот такие внутренние позывы математиков, не задев ни краем ZFC уже на уровне "нечто = множ-во или его элемент", "принадлежит", "равно" и т.д? Мне трудно догадаться, как идеология, претендующая на тектонические сдвиги на наши формализованные рассуждения, может не затронуть мою/нашу способность/возможность начать членораздельно произносить что-нибудь типа "$A$ и $B$". Но множества, как их не именуй, здесь уже зарыты, причем глубоко. Грубо говоря, до того как мы от рождения превратились в нечто подобное homosapience, мы уже "сделаны из множеств".

[Xaositect]

maximav в сообщении #1255366 писал(а):

Но множества, как их не именуй, здесь уже зарыты, причем глубоко. Грубо говоря, до того как мы от рождения превратились в нечто подобное homosapience, мы уже "сделаны из множеств".

Не знаю, для меня была неинтуитивна фундаментальная вещь в теории множеств - что множества все одинаковы, нет разделения на "множества элементов" и "множества множеств". Я гораздо более комфортно себя чувствую, когда есть иерархия: элементы - множества - семейства множеств - и т.п., и каждый объект занимает в этой иерарии определенное место. Мне удобнее, например, думать о пустом подмножестве некоторого пространства и пустом семействе подмножеств как о разных вещах. Так было у Рассела и Уайтхеда в Principia Mathematica и это один из источников теории типов. В теории множеств основная идея прямо противоположная - не надо вводить разнородные объекты, все есть множества.

[maximav]

Xaositect в сообщении #1255382 писал(а):

для меня была неинтуитивна фундаментальная вещь в теории множеств - что множества все одинаковы

Я здесь не понял. Если коротко, то это в точности то, кода вместо "три яблока" мы говорим "3". Как это абстрагирование можно обойти?... Это если совсем кратко. Если не отбрасывать "яблоко", то как науку можно начать создавать?

[Xaositect]

maximav в сообщении #1255386 писал(а):

Я здесь не понял. Если коротко, то это в точности то, кода вместо "три яблока" мы говорим "3". Как это абстрагирование можно обойти?...

А тут никакой проблемы нет ни в теории множеств, ни в теории типов. Есть тип "набор яблок", есть тип "натуральное число", и есть функция, которая каждому набору яблок сопоставляет натуральное число.
Но зато в теории множеств мы говорим, что $3 = \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}\}$. И, например, $\left<0, 1\right> \cup \{0, 2\}$ - это тоже $\{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}\}$.

[maximav]

Ну у меня было утрированно упрощенческое замечание. Как то я сомневаюсь, что теория типов и термов сможет стать не переводом с расширением "теория множеств + логика", а структурой "от рождения", на которой математики начнут думать про частный случай, называемый ZFC + logic. Применительно к формализации доказательств у нас конечно нет никаких ограничений на то, как это делать. Доказательство (формально математическое) -, в конце концов, это действо, которое не нуждается в удобстве нашего восприятия его. Для этого пожалуйста, строй сколь угодно другой язык. Но, между прочим, как только мы задействуем (приземленные, бытовые, ...) (мат)физические соображения/мотивы, то здесь надматематическая необходимость в теории типов, подозреваю/чую, исчезает. Причем, не исключено, на корню. И вовсе не потому, что физики или матфизики упрямо консервативны и лентяи. Причины, судя по-всему, довольно радикальные. Они (физики выше) мыслят низкоуровнево именно вот так банально "3 яблока" $\mapsto$ "яблоко". Они, грубо говоря хотя и говорят об абстрактных "три", но просто ленятся добавлять каждый раз "яблоко" и другого мира homosapience не просто не знает. В этом смысле физик-матфизик отличается от кухарки только тем, что он агрессивно защищает неустранимость слова "яблока", когда кухарка делает это подсознательно.

[arseniiv]

maximav в сообщении #1255391 писал(а):

Как то я сомневаюсь, что теория типов и термов сможет стать не переводом с расширением "теория множеств + логика", а структурой "от рождения", на которой математики начнут думать про частный случай, называемый ZFC + logic.

Теории типов формализуются в наивных теориях не сложнее теорий первого порядка типа теорий множеств. Логикам, в принципе, только вопрос привычки, как воспринимать наивную метатеорию, в которой они исследуют формализованные; обычные же математики даже формальных теорий не рассматривают. И до создания теории множеств, кстати, математика существовала и развивалась.

Дальше какой-то поток сознания (как обычно ).

[Xaositect]

Для физика и матфизика никакой разницы нет, весь университетский курс математики для физиков будет выглядеть почти одинаково что в теории типов, что в теории множеств. Потому что на практике в рамках конкретного доказательства математические объекты как правило делятся на разные "типы", и натуральное число не получится смешать с каким-нибудь другим множеством.

[george66]

Хотелось бы не теорию множеств улучшить, а логику первого порядка. Не "теорию всего", а язык. Вот ранние шаги теории зависимых типов как раз в этом направлении. Их, кстати, делал де Брёйн, а не Мартин-Лёф (контексты, зависимые типы ввёл де Брёйн). Мартин-Лёф ввёл индуктивные типы, это уже "теория всего". Хочется иметь слабую теорию с выразительным языком.

[GOLOTOPAXPOP]

george66 в сообщении #1255583 писал(а):

Хотелось бы не теорию множеств улучшить, а логику первого порядка. Не "теорию всего", а язык.

Кому хотелось бы? Логикам? Или остальным математикам?

Дело в том, что нет совершенно, совершенно ничего плохого в изолированности отдельных областей математики. Более того, почти все области (но не подобласти) математики изолированы друг от друга, это объективная реальность, и убежать от этого не получится, выделим ли мы в категорию "core mathematics", как Вербицкий, области, наиболее популярные в двадцатом веке области, а все остальные объявим "нематематикой", придумаем ли какую-нибудь иную глупость - все равно ничего не получится. Это объективная реальность, и с ней надо жить. Специалистам в комбинаторике и в ПДУ не нужны абстрактные гомологические методы (алгебраический анализ не считаем, потому что он хоть и интересен, но интересен сам по себе, приложений к классической теории ПДУ пока мало имеет), а гомологическим алгебраистам, напритив, не нужно знать множество аналитических оценок (которым их, к слову, в отличие от аналитиков по отношению к алгебре и теории категорий, часто сильно-пресильно заучивают на математических факультетах, привет советской традиции).

Но пытаться продать, как на рынке, "впарить" идеи, релевантные в вашей области остальным математикам, да ещё и при этом смотреть свысока на тех, кто покупать это не хочет, мол, "ничего вы не понимаете", уже некрасиво, да и просто бессмысленно.

Конкретно Воеводского в этом обвинить сложно, потому что у него были довольно приземленные цели - сделать proof assistant, а идеологическая "правильность" HoTT была на втором плане (вас, естественно, тоже не обвиняю, потому что ничего о вас не знаю; просто именно ваше высказывание сподвигло на написание поста).
Но вот весь этот шум вокруг HoTT сейчас создает ситуацию с толпой сектантов, у которых бы "все взять и переписать", а кто не хочет, тот просто ничего не понимает.
Тут ранее говорилось о ncatlab. Так вот, тот сайт в том числе и содержит немало тех логиков, которым недостаточно заниматься интересными для них логическими и/или концептуальными вопросами, они ещё и хотят, чтобы все остальные математики начали внезапно вместе с ними "молиться" на эту модную HoTT и остальные похожие проекты (например, теорию топосов и переформулировку дифференциальной геометрии на её языке).

Что интересно, в $(\infty,1)$-категориях самая ключевая фигура - это Jacob Lurie. Вот только и он не понимает причину всего этого, как сейчас выражаются в соцсетях, "хайпа" вокруг HoTT, фраза создателя ncatlab (Urs Schreiber) о том, как плохо и некрасиво, что алгебраические топологи не понимают ценности HoTT, смутила и его (Лури).
Впрочем, и на ncatlab $(\infty,1)$-категории уже не "котируются", там в почете $(\infty,n)$-категории и $\omega$-категории (скоро будут, наверное, $\alpha$-категории для произвольного ординала $\alpha \geq \omega$, такая тема уже была где-то на mathoverflow; любопытно, впрочем).

Наверное, чтобы быть объективным, надо сказать, что в такие рамки этих специалистов ставит математическое сообщество, которое то и дело пестрит любителями позадавать вопросы: "А зачем вы это делаете? А какой толк от этого? А как это поможет мне решать дифференциальные уравнения/доказывать утверждения про алгебраические кривые? Может быть, вам заняться чем-нибудь другим?"
Причем это распространено и среди великих людей, что ни в коем случае не умалает их математических достоинств.
Таким грешили, в том числе, по рассказам, Гельфанд и Бернштейн. У первого (опять же, по рассказам) вся теория гомотопий сводилась к гладким многообразиям (а та, что не сводилась, была не нужна, как очевидно), а второй с похожим снобизмом относился к гомологической алгебре. Арнольд переплюнул и их, когда заявил, что "математика - часть физики" (подразумевая, что остальная математика не очень-то и не нужна, это можно было бы называть "вырыванием из контекта", если бы не остальные его мысли про "преступных бурбакизаторов").
В Америке сейчас это тоже очень развито (в плохом смысле), и долгое время они и Гротендика не уважали в широких круга, что-то типа "да у него единственным примеров является его же одна большая теория".
Кстати, кто знает историю математики, уточните, пожалуйста, не привело ли подобное поведение со стороны широкой математической общественности к, мягко говоря, большим проблемам в жизни у таких великих математиков, как Лобачевский и Кантор?

[george66]

При чём тут логики! У меня много знакомых логиков, никто из них не знал, что такое "топос", пока я не написал об этом книгу. Логики тоже наши, советские, люди, ничего не знают ни о чём. На ncatlab сидят не логики.

[GOLOTOPAXPOP]

george66, не мне вам рассказывать, что и в логике, как и в любой другой области математики, есть различные подобласти, часто далекие друг от друга. В российской традции это называется "научные школы".

Теория топосов нынче все же раздел логики, особенно элементарных топосов. Но это спор о терминологии, опять же, не мне вам рассказывать о сути, раз вы написали книгу о топосах.

На ncatlab'е все же по большему счету логики, по крайней мере, если брать не всех, кто хоть одну статью там написал, а именно "костяк" сайта, людей, которые там регулярно общаются на форуме. U.Schreiber, например, формально не логик, а математический физик, но вот мышление у него именно-то как у логика. В том смысле, что если больше интересует метаматематика, чем конкретные результаты в матфизике и диффгеометрии. Причем метаматематика не такая, как у МакЛэйна, Гротендика и Квиллена, а именно логическая - топосы, теории, формулировка геометрии в элементарном топосе, внутренняя логика в категории. Можно сказать, что там духовные наследники скорее Ловера, чем МакЛэйна с Эйленбергом.

Что, я ещё раз повторюсь, само по себе не несет никакого оттенка - ни негативного, ни позитивного - пока они не пытаются агрессивно продать свои теории "работающим математикам" (по аналогии с working mathematician, как в "categories for the working mathematician", что по Бурбаки и МакЛэйну означает людей, которым предмет не интересен сам по себе, а лишь как приложение, например, специалист в теории чисел - "working mathematician" по отношению к анализу, и наоборот - комплексный аналитик есть "working mathematician" по отношению к алгебре). И такое поведение не эксклюзивно для логиков, ещё чаще так же ведут себя специалисты в других областях, особенно любят это дело алгебраисты -
порассказывать "невежественным" аналитикам, как надо реально заниматься анализом (через коммутативную алгебру, например, хотя за столько лет никто из них так и написал реального трактата на эту тему).

[george66]

Можно, конечно, всех нехороших людей называть "логиками", но это неправильно. Лучше назвать их "гомотопными гомоложцами".

Вспомнил одного логика, который знал топосы, это В.А.Любецкий.

[arseniiv]

(Оффтоп)

george66 в сообщении #1255653 писал(а):

Можно, конечно, всех нехороших людей называть "логиками", но это неправильно. Лучше назвать их "гомотопными гомоложцами".

А можно вообще не обобщать. Такие насильственные раскладывания людей по ящикам ничего вперёд не двигают, а только ухудшают взаимопонимание.

[GOLOTOPAXPOP]

george66,
среди "гомотопных гомоложцев" есть как логики (которые занимаются внутренней логикой категорий, элементарными топосами и т.д.), так и алгебраисты (которые больше по алгебраическим вещам). Я сейчас говорю про логиков конкретно. Вот, посмотрите, что ли, про "категорную логику" (там и ссылки есть), к которой относится и теория топосов:

https://en.wikipedia.org/wiki/Categorical_logic

То, что вы не любите гомотопическую и категорную логику, не значит, что они не относится к области, традиционно именуемой "математической логикой".

(Оффтоп)

arseniiv,

Цитата:

а только ухудшают взаимопонимание.

А его и нет, и не будет. Желание видеть математику как единое целое приводит часто к тому, что человек перестает считать обособленные области, типа логики или аддитивной комбинаторики, математикой вообще (у Вас есть пример известного русского комплексного геометра). Лучше просто смирится с тем, что математика - она разная, и каждый математик сидит и "ковыряется" в своих проблемах, и Ваши проблемы ему, скорее всего, неинтересны, как и Вам его проблемы. Даже титаны в плане широты кругозора, типа Концевича, имеют свою основную область интересов, а все остальное для них вторично. Советская школа вокруг Гельфанда и НМУ (тогда ещё НУ, как только этот институт получил нынешнюю славу, как раз СССР распался, и все великие разъехались, сейчас это уже совсем не то место) вообще славилась широким кругозором в математике, но даже у них не получилось "понять" всю-всю-всю математику, думается, к той же метаматематике и сам Гельфанд, и большинство его последователей относились отрицательно (хотя Манин написал целую книгу).

-- 14.10.2017, 21:18 --

Xaositect в сообщении #1255382 писал(а):

maximav в сообщении #1255366 писал(а):

Но множества, как их не именуй, здесь уже зарыты, причем глубоко. Грубо говоря, до того как мы от рождения превратились в нечто подобное homosapience, мы уже "сделаны из множеств".

Не знаю, для меня была неинтуитивна фундаментальная вещь в теории множеств - что множества все одинаковы, нет разделения на "множества элементов" и "множества множеств". Я гораздо более комфортно себя чувствую, когда есть иерархия: элементы - множества - семейства множеств - и т.п., и каждый объект занимает в этой иерарии определенное место. Мне удобнее, например, думать о пустом подмножестве некоторого пространства и пустом семействе подмножеств как о разных вещах. Так было у Рассела и Уайтхеда в Principia Mathematica и это один из источников теории типов. В теории множеств основная идея прямо противоположная - не надо вводить разнородные объекты, все есть множества.

Это совершенно неинтуитивно применительно к "реальному миру", но в математике, как ни странно, это работает - все, вот прям все-все-все можно построить, начиная с пустого множества и аксиом $\mathsf{ZFC}$.

Конечно, некрасив тот момент, например, что $\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z}$, там скорее инъективный гомоморфизм, но не точное вложение, потому что целое число $n > 0$ - это лишь класс эквивалентности $(n,0)$, а натуральное число $n$ - лишь $\{0,1,...,n-1\}$.

Но это нестрашно, так как только мы знаем, то есть множества $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$, удовлетворающие интуитивным свойствам, изучаемым наивно ещё в школе, то нас уже не волнует, как внутренную теоретико-множественную структуру имеют они сами и их элементы. Точнее, проще сказать, что нас эти множества интересуют с точностью до изоморфизма полуколец/колец/полей, вполне/частично упорядоченных множеств и т.д., мы можем и не верить, что $\mathbb{N}$ как пересечение всех индуктивных множеств и есть "настоящие" натуральные числа, но это конструкция дает нам доказательство, что существует как минимум одно множества со всеми арифметическими и порядковыми свойствами натуральных чисел.

Ну и невозможность полностью аксиоматизровать числовые множества есть недостаток не столько совсем $\mathsf{ZFC}$, сколько вообще логики первого порядка.