Преобразование координат - Поворот

[3kvant]

Здравствуйте !




Из картинки видно что старый базисный вектор это гипотенуза для новых базисных векторных проекций.
Я пробовал много раз но не получился проекцировать новые базисные векторы так чтобы в сумме получилось старый базисный вектор.
Другие примеры преобразование координат нашел и разобрался но хочу понять именно этот.

[Munin]

3kvant в сообщении #1254743 писал(а):

Я пробовал много раз но не получился проекцировать новые базисные векторы так чтобы в сумме получилось старый базисный вектор.

Получите хотя бы вектор, лежащий на той же прямой. А потом просто умножьте на нужный коэффициент.

[svv]

Вообще, уточните вопрос. В книге, вроде, всё очень понятно написано и нарисовано.

[Xaositect]

Что конкретно Вам непонятно? Если построить прямоугольный треугольник с гипотенузой $1$ и углом $\varphi$, то его катеты будут иметь длины $\cos \varphi$ и $\sin \varphi$. А дальше надо просто правильно расставить векторы и знаки $\pm$.

[3kvant]

Xaositect в сообщении #1254764 писал(а):

Что конкретно Вам непонятно? Если построить прямоугольный треугольник с гипотенузой $1$ и углом $\varphi$, то его катеты будут иметь длины $\cos \varphi$ и $\sin \varphi$. А дальше надо просто правильно расставить векторы и знаки $\pm$.

Да я знаю что координаты единичного вектора $\{\cos\varphi,\sin\varphi\}$. Как правильно расставить векторы и знаки ?

Как проецировать $\hat e_x$ на $\hat e'_x$ и $\hat e'_y$ чтобы получилось $\hat{e}_x = cos(\varphi)\hat{e}'_x - sin(\varphi)\hat{e}'_y$ ?

[Xaositect]

Да вроде нарисовано все на отдельных треугольниках. Может, так понятнее:

\begin{tikzpicture}[scale=4,>=latex] \draw (0,0) circle (1); \draw[->] (0,0)--(1,0) node[below left] {$\hat{e}_x$}; \draw[->] (0,0)--(0,1) node[below right] {$\hat{e}_y$}; \draw[->] (0,0)--(0.866, 0.5) node[left,xshift=-5,yshift=5] {$\hat{e}'_x$}; \draw[->] (0,0)--(-0.5, 0.866) node[below,xshift=-5,yshift=-5] {$\hat{e}'_y$}; \draw[dashed] (1,0)--(0.75,0.433); \draw[dashed] (1,0)--(0.25,-0.433)--(0,0); \draw[dashed] (0,1)--(-0.433,0.75); \draw[dashed] (0,1)--(0.433,0.25); \end{tikzpicture}

[3kvant]

Кажется понял в чём моя проблема :



Проекции неправильно понимаю ?

[Xaositect]

Векторы должны быть наоборот.
Что такое умножение вектора на число?

[3kvant]

Xaositect в сообщении #1254803 писал(а):

Векторы должны быть наоборот.
Что такое умножение вектора на число?

Когда вектор умножаем на число это его украшает или удлиняет и меняет направление если умножать на отрицательоне число.

[Xaositect]

Не украшает, а укорачивает, наверное :)

Тогда почему у Вас на горизонтальной линии написано $\hat{e}'_x \cos \varphi$, а на наклонной - $\hat{e}_x \cos\varphi$? Должно быть наоборот - ведь на горизонтальной прямой у нас будет вектор $\hat{e}_x$, а также все его кратные, т.е. все векторы, которые из него получаются укорочением/удлиннением.

[3kvant]

С точки зрения векторов понятно, спасибо. Но сточки зрения тригонометрии нет.

ведь мы знаем что $OM = \hat e_xcos\varphi$, вот потому я на $\hat e'_x$ вектор написал $\hat e_xcos\varphi$. Вот это путает меня.

[Xaositect]

Нет. Вы путаете векторы и длины.
С одной стороны, мы знаем, что вектор $\overrightarrow OM = a \cdot \hat{e}'_x$ для некоторого числа $a$, потому что они сонаправлены ($\overrightarrow{OM}$ получается из $\hat{e}'_x$ укорачиванием). С другой стороны, из тригонометрии мы можем найти длину $|OM| = |\hat{e}_x| \cos\varphi = \cos\varphi$.
Так как вектор $\hat{e}'_x$ единичный, то коэффициент $a$ будет как раз равен $\cos\varphi$. Итого, $\overrightarrow{OM} = a \cdot \hat{e}'_x = \hat{e}'_x \cos \varphi$.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Побуду контрконструктивным. Почему бы не считать, что поворот вектора $\mathbf e_1$ в плоскости с ортонормальным базисом $(\mathbf e_1,\mathbf e_2)$ в направлении от $\mathbf e_1$ к $\mathbf e_2$ на угол $\varphi$ — это $\mathbf e_1\cos\varphi + \mathbf e_2\sin\varphi$ по определению синуса и косинуса?

[3kvant]

Xaositect в сообщении #1254824 писал(а):

Нет. Вы путаете векторы и длины.
С одной стороны, мы знаем, что вектор $\overrightarrow OM = a \cdot \hat{e}'_x$ для некоторого числа $a$, потому что они сонаправлены ($\overrightarrow{OM}$ получается из $\hat{e}'_x$ укорачиванием). С другой стороны, из тригонометрии мы можем найти длину $|OM| = |\hat{e}_x| \cos\varphi = \cos\varphi$.
Так как вектор $\hat{e}'_x$ единичный, то коэффициент $a$ будет как раз равен $\cos\varphi$. Итого, $\overrightarrow{OM} = a \cdot \hat{e}'_x = \hat{e}'_x \cos \varphi$.

Вау сейчас все прояснилось, большое спасибо вам. Последний раз, знак "$-$" в $-sin(\varphi)\hat{e}'_y$ потому что оно противоположно с направлением $\hat e'_y$ ?

[Xaositect]

3kvant в сообщении #1254836 писал(а):

Последний раз, знак "$-$" в $-sin(\varphi)\hat{e}'_y$ потому что оно противоположно с направлением $\hat e'_y$ ?

Да.