Волшебный конструктор.

[ewert]

PWT в сообщении #1253550 писал(а):

но знаю, что он будет кратен 12.

Да, кстати. Это не надо знать (тем более доказывать) -- это тривиально. Просто потому, что шестидесятки тривиально делятся на двенадцать.

[PWT]

С остатками ошибся, спасибо, что поправили. Остаток будет 12, 36, 60. С интервалом в 24 получается все-таки (потому как 60\cdot 10^{2n}при делении на 72 дает остаток 24). Вроде как так: Я кажется понял, что можно представить $606060...60=72n+12+24k$, где $k=0,1,2$, $12k$ -- остатки при делении на $72$.

$n$ -- по смыслу -- это количество деталей одного типа, когда нет потерянных. Но не очень понятно -- зачем прибавлять потерянные (точнее их вес?). Это же суммарный вес указан уже без потерянных $6060...60$. Да и это речь идет про вес, а не про количество.

[EUgeneUS]

PWT в сообщении #1253567 писал(а):

$n$ -- по смыслу -- это количество деталей одного типа, когда нет потерянных.

Нет.

[ewert]

PWT в сообщении #1253567 писал(а):

$n$ -- по смыслу -- это количество деталей одного типа, когда нет потерянных. Но не очень понятно -- зачем прибавлять потерянные (точнее их вес?)

Их надо не прибавлять, а вычитать. Причём при произвольных неотрицательных $k$, а не только $0,1,2$ -- иначе Вы учитываете не все потерянные. Однако на набор возможных остатков (раз уж они такие) это никак не влияет.

[EUgeneUS]

PWT

Если
1. Вес целого набора: $72k \bmod 12 = 0$
2. Вес набора с утерянными деталями: $606060...60 \bmod 12 = 0$

То
1. Что можно сказать о весе утерянных деталей? ($5a+24b+43c$)?
2. А в таком случае, что можно сказать про $a$ и $c$?

[atlakatl]

EUgeneUS в сообщении #1253688 писал(а):

2. Вес набора с утерянными деталями: $606060...60 \bmod 12 = 0$

К чему это и так понятное тождество? 60 делится на 12.
Но детали потеряны разные и к 12 не имеют никакого отношения.

[ewert]

atlakatl в сообщении #1253691 писал(а):

Но детали потеряны разные и к 12 не имеют никакого отношения.

Но зато очень имеет отношение их суммарный вес. В зависимости от совпадения или несовпадения $a$ и $c$.

[EUgeneUS]

atlakatl
Отправил в ЛС решение.

[kotenok gav]

И мне тоже, пожалуйста!

[PWT]

Я так и не понимал -- что делать дальше. Мне немного подсказали, чуть-чуть продвинулся.
1) Какой остаток от деления массы деталей на $24$? Мой ответ: 0
2) Какой остаток обнаружился в конце? Мой Ответ: 12
3) Как ведёт себя остаток от деления на $24$ при потере детали каждого из трёх типов?
Мой ответ: При потере детали 2 типа (24 грамма -- не меняется). При потере детали первого типа (массой 5 грамм) -- изменяется на 5 (увеличивается?). При потере детали третьего типа -- изменяется (увеличивается?) на 19.

Получается, что мы можем терять детали 2-го типа, они при этом не будут менять остаток при делении на 24. В худшем случае, мы не потеряем детали 2го типа (иначе слишком легко набрать 10 деталей). Потому мы должны рассмотреть ситуацию

$5a+43c=24m+12$

В неотрицательных целых числах решение начинается при $m\ge 12$.

а и с должны быть одной четности (так правая часть четная, левая должна быть такой же).

Правильное ли направление и ответы на вопросы?)

-- 06.10.2017, 21:19 --

EUgeneUS в сообщении #1253688 писал(а):

PWT

Если
1. Вес целого набора: $72k \bmod 12 = 0$
2. Вес набора с утерянными деталями: $606060...60 \bmod 12 = 0$

То
1. Что можно сказать о весе утерянных деталей? ($5a+24b+43c$)?
2. А в таком случае, что можно сказать про $a$ и $c$?

$5a+24b+43c\bmod 12 = 0$, то есть вес утерянных деталей кратен 12.

$5a+43c\bmod 12 = 0$

$5a+7c\bmod 12 = 0$

Ну тогда вполне подойдут $a=1$ и $c=1$, $b=0$. Но это ведь не то, что требуется...

[EUgeneUS]

Верно (в ответах на мои вопросы)

Теперь вот это штуку $5a+43c$ (или эту $5a+7c$) надо переписать так, чтобы было два слагаемых, таких что
первое слагаемое заведомо делится на 12 нацело
а второе слагаемое зависит только от одной переменной (что-то собранное из $a$ и $c$).
И вот на второе слагаемое надо будет посмотреть более внимательно.

-- 06.10.2017, 21:36 --

EUgeneUS в сообщении #1253802 писал(а):

Ну тогда вполне подойдут $a=1$ и $c=1$, $b=0$. Но это ведь не то, что требуется...

Для того, чтобы вес потерянных деталей делился на $12$, подойдут.
Но сейчас нам надо найти все $a$ и $c$, при которых вес утерянных деталей делится на $12$.

[PWT]

$5a+7c=12(a+c)-(7a+5c)$

Второе слагаемое симметрично в каком-то смысле первому, а так, вроде как ничего нового, может, я конечно, не так смотрю.

EUgeneUS в сообщении #1253802 писал(а):

Для того, чтобы вес потерянных деталей делился на $12$, подойдут.
Но сейчас нам надо найти все $a$ и $c$, при которых вес утерянных деталей делится на $12$.

Но нам же нужно доказать, что потерялось более 10 деталей, а это означает, что все пошло крахом, потому как пришли к противоречию, так как нашлись такие значения а,б,с, при которых вроде как все сходится при 2 деталях потерянных. Не могу найти дырку в своих рассуждениях.
Я понимаю, что задача очень простая, но как-то туплю сильно...

[EUgeneUS]

PWT

PWT в сообщении #1253812 писал(а):

Второе слагаемое симметрично в каком-то смысле первому, а так, вроде как ничего нового, может, я конечно, не так смотрю.

Второе - это не слагаемое, а вычитаемое

PWT в сообщении #1253812 писал(а):

так как нашлись такие значения а,б,с, при которых вроде как все сходится при 2 деталях потерянных.

Мы с этим обязательно разберемся, буквально на следующем шаге.

А пока... Вы же понимаете, что пар $a$ и $b$, при которых выполняется $5a+7c\bmod 12 = 0$ очень много, но совсем уж любые не подходят? Вот как бы их все описать, чтобы ни одну не пропустить (иначе как раз дырка в рассуждениях и появится).

-- 07.10.2017, 01:19 --

если это $5a+7c=12(a+c)-(7a+5c)$ записать вот так: $5a+7c=12a+12c-7a-5c$, то как еще (более волшебно) можно сгруппировать?

[atlakatl]

С периодом 3.
Просто $606060/(5+24+43)=8418$ - точно.

[EUgeneUS]

atlakatl
Замечу, что возможные остатки уже установлены в теме.

И вопрос: поясните, что означают последние две колонки.
Предпоследняя похожа, на минимальный потерянный набор. Но это не согласуется с названием последней.