Найдите предел последовательности

[ewert]

an2ancan в сообщении #1253349 писал(а):

Действительно интеграл от 0 до 5 будет равен 15.

Не будет, естественно.

Не надо гадать, надо просто подумать. Почему вообще сумму можно оценивать интегралом? -- Потому, что каждое слагаемое оценивается интегралом по соответствующему отрезку единичной длины.

А вот по какому именно отрезку и в какую сторону оценивается -- зависит от направления монотонности подынтегральной функции.

[an2ancan]

Получается, если подыитегральная функия возврастает, то для того чтобы найти:
- верхнюю оценку последовательности нужно верхнюю границу интграла увеличить на 1
- нижнюю оценку - нижнюю уменьшить на 1.
Для монотонно убывающей наоборот.

получается для моего случая, последовательность убывающая, требуется найти верхнюю оченку, соответственно нужно нижний предел интегрирования уменьшать на 1, т.е. получаем от 1 до n

[ewert]

an2ancan в сообщении #1253377 писал(а):

т.е. получаем от 1 до n

Правильно. Теперь остаётся только переписать заново всё, с самого начала. Поскольку здесь

an2ancan в сообщении #1252993 писал(а):

$c_2 = \frac{1}{2}c_1 + \beta_2$

сбита индексация.

[an2ancan]

Ну что ж

$c_1 = \beta_1$

$c_2 = \frac{1}{2}\beta_1 + \beta_2$

$c_3 = \frac{1}{3}\beta_1+ \frac{2}{3} \beta_2 + \beta_3$

$c_4 = \frac{1}{4}\beta_1 + \frac{2}{4}\beta_2 + \frac{3}{4}\beta_3 + \beta_4$

$\vdots$

$c_n = \frac{1}{n}\beta_1 + (\frac{2}{n}\beta_2 + \frac{3}{n}\beta_3 + \dots + \frac{n-1}{n}\beta_{n-1} + \beta_n)$

$ \left\lvert (\frac{1}{n}\beta_1 +\frac{2}{n}\beta_2 + \frac{3}{n}\beta_3 + \dots + \frac{n-1}{n}\beta_{n-1} + \beta_n) \right\rvert \leqslant \sum\limits_{0}^{n}(\left\lvert \frac{C}{i^2} \right\rvert \frac{i}{n})$

$\leqslant \int_0^n \frac{C}{nx}dx = \frac{C}{n} (\ln n - \ln k)$, при $k \rightarrow 0$.

Вот тебе раз.

Ну наверное можно так записать:

$\leqslant \int_\frac{1}{n}^n \frac{C}{nx}dx $ при $n \rightarrow \infty = \frac{C}{n} (\ln n - \ln \frac{1}{n})$, при $n \rightarrow \infty$.

$\frac {\ln n}{n} \rightarrow 0$
$\frac {\ln \frac{1}{n} {}}{n} =\frac{-\frac {1}{n}}{1}\rightarrow 0$

[ewert]

Во-первых, первая строчка нехороша -- она фиксирует последовательность, хотя в последовательностях, заданных рекуррентно, начальное условие подразумевается произвольным. Во-вторых, индексация всё равно сбита. В-третьих, в любом случае никто не заставляет Вас оценивать всю сумму.

[an2ancan]

Посмотрите пожалуйста на запись выше, Вы просто ответили пока я ее правил

[ewert]

an2ancan в сообщении #1253390 писал(а):

Ну наверное можно так записать:

$\leqslant \int_\frac{1}{n}^n \frac{C}{nx}dx $ при $n \rightarrow \infty = \frac{C}{n} (\ln n - \ln \frac{1}{n})$, при $n \rightarrow \infty$.

$\frac {\ln n}{n} \rightarrow 0$
$\frac {\ln \frac{1}{n} {}}{n} = \frac{1}{n^2} - \frac{\ln n} {n^2}\rightarrow 0$

Во-вторых, индексация так и осталась сбитой. В-третьих, нижний предел взялся с потолка, просто не надо было оценивать всю сумму. В-четвёртых, теперь добавилась ещё одна ошибка в самой последней строчке.

[an2ancan]

ewert в сообщении #1253400 писал(а):

an2ancan в сообщении #1253390 писал(а):

Ну наверное можно так записать:

$\leqslant \int_\frac{1}{n}^n \frac{C}{nx}dx $ при $n \rightarrow \infty = \frac{C}{n} (\ln n - \ln \frac{1}{n})$, при $n \rightarrow \infty$.

$\frac {\ln n}{n} \rightarrow 0$
$\frac {\ln \frac{1}{n} {}}{n} = \frac{1}{n^2} - \frac{\ln n} {n^2}\rightarrow 0$

Во-вторых, индексация так и осталась сбитой. В-третьих, нижний предел взялся с потолка, просто не надо было оценивать всю сумму. В-четвёртых, теперь добавилась ещё одна ошибка в самой последней строчке.

Я исправил 4 пункт))) :

$\frac {\ln \frac{1}{n} {}}{n} =\frac{-\frac {1}{n}}{1}\rightarrow 0$ По правилу Лопиталя.

Но я так и не понял по поводу сбитой индексации, и как нужно было записать докозательство, не считая всю сумму?

[ewert]

an2ancan в сообщении #1253404 писал(а):

$\frac {\ln \frac{1}{n} {}}{n} =\frac{-\frac {1}{n}}{1}\rightarrow 0$ По правилу Лопиталя.

Жуть какая. Мало нам интегралов, так тут ещё и производные. Которые уж вовсе не при чём. Какие свойства логарифмов нам известны?.

-- Чт окт 05, 2017 18:15:21 --

an2ancan в сообщении #1253404 писал(а):

Но я так и не понял по поводу сбитой индексации

Взгляните ж наконец на исходное рекуррентное соотношение. Формально подставьте в него какое-либо конкретное значение $n$. Получится не совсем то, что в Ваших строчках.

an2ancan в сообщении #1253404 писал(а):

и как нужно было записать докозательство, не считая всю сумму?

Очень просто. Начальные-то слагаемые тривиально стремятся к нулю. Кстати, именно с этого Вы и начинали, но потом почему-то забыли.

[an2ancan]

ну.... а какие нам нужно знать?
$\frac {\ln \frac{1}{n}}{n} = \ln \frac {1}{^n\sqrt{n}}$

[ewert]

an2ancan в сообщении #1253415 писал(а):

а какие нам нужно знать?
$\frac {\ln \frac{1}{n}}{n} = \ln \frac {1}{^n\sqrt{n}}$

Это движение в противоположном направлении. Переберите все свойства, их не так много -- сразу наткнётесь на нужное. А ещё лучше забудьте об этом.

Кстати, если Вам всё же понадобятся корни произвольной степени, то они кодируются так:

\sqrt[m]{n}

[an2ancan]

Фух,
начнем с произвольного $c_k$
тогда
$c_{k+1} = \frac{k}{k+1} c_k + \beta_k$

$c_{k+2} = \frac{k}{k+2}c_k + \frac{k+1}{k+2} \beta_k + \beta_{k +1}$

$\vdots$

$ c_{n} = \frac{k}{n} c_k + \frac{k+1}{n}\beta_k + \frac{k+2}{n}\beta_{k+1} + \cdots + \frac{n-1}{n}\beta_{n-2} + \beta_{n-1} $

$\frac{k}{n} c_k \rightarrow 0 $, при $n \rightarrow \infty$

при условии, что $c_k$ конечно

$\left\lvert \frac{k+1}{n}\beta_k + \frac{k+2}{n}\beta_{k+1} + \cdots + \frac{n-1}{n}\beta_{n-2} + \beta_{n-1} \right\rvert $ $\leqslant \sum\limits_{k+1}^{n-1}(\left\lvert \frac{C}{i^2}) \right\rvert \frac{i}{n} \leqslant \int_k^{n-1} \frac{C}{nx}dx = \frac{C}{n} (\ln {(n-1)} - \ln {k}) \rightarrow 0 $

при $n \rightarrow \infty$

вот только теперь нужно доказать, что $c_k$ -- конечно

а ну мы выше доказывали, что $\beta_n$ - ограниченна, но это не $c_n$

[ewert]

an2ancan в сообщении #1253441 писал(а):

вот только теперь нужно доказать, что $c_k$ -- конечно

Это примерно то же самое, что доказывать конечность числа $7$.

[an2ancan]

ewert в сообщении #1253445 писал(а):

Это примерно то же самое, что доказывать конечность числа $7$.

Почему?

[ewert]

an2ancan в сообщении #1253447 писал(а):

Почему?

А что такое $k$ ?